Конспект урока: Применение производной к построению графиков функций

План урока

• Схема исследования и построения графиков функций;
• Особенности исследования и построения графиков чётных и нечётных функций.

Цели урока

• Знать общую схему исследования функции с помощью производной;
• Уметь применять производную при исследовании функции.

Разминка

Рис. 1.

1. Какой знак имеет производная функции на промежутке возрастания (убывания)?
2. Чему равна производная дифференцируемой функции в точке экстремума?
3. На рисунке 1 изображен график функции $y = f ( x )$, определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции $f \left(x\right)$.

Схема исследования и построения графиков функций

С помощью понятия производной мы можем определить промежутки возрастания и убывания функции, найти критические точки, а также точки максимума и минимума функции. Всё это даёт возможность применять производную при построении графиков функций. Перед построением графика функции проводится её исследование и часть сведений об исследуемой функции получают с помощью производной. Однако, помимо этих данных, для более точного построения графиков функции нам необходимы еще некоторые сведения. Приведем схему исследования функций, которой и будем пользоваться в дальнейшем.

Результаты исследования удобно записывать в виде таблицы.

Кроме того, желательно найти точки пересечения с осями координат. Для более точного построения графика функции можно найти ещё несколько точек.

Построить график функции $y = 2 x^{3} - x^{2} - 4 x$.

Решение

1. Найдём область определения функции: $D \left(y\right) = \left(- \infty ; + \infty\right)$.

2. Найдём производную функции: $y^{'} = \left(2 x^{3} - x^{2} - 4 x\right)^{'} = 6 x^{2} - 2 x - 4$.

3. Найдём критические точки: $6 x^{2} - 2 x - 4 = 0$.

$D = \left(- 2\right)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot \left(- 4\right) = 4 + 96 = 100$

$x_{1} = \frac{2 - \sqrt{100}}{12} = - \frac{8}{12} = - \frac{2}{3}$

$x_{2} = \frac{2 + \sqrt{100}}{12} = 1$

Рис. 2.

4. Найдём промежутки возрастания и убывания (рис. 2):

 

функция возрастает на интервалах $\left(- \infty ; - \frac{2}{3}\right)$ и $\left(1 ; + \infty\right)$.                                           

функция убывает на интервале $\left(- \frac{2}{3} ; 1\right)$.

5. Найдём точки экстремума и значения функции в этих точках (рис. 2): 

$x = - \frac{2}{3}$ - точка максимума,

$f \left(- \frac{2}{3}\right) = 2 \cdot \left(- \frac{2}{3}\right)^{3} - \left(- \frac{2}{3}\right)^{2} - 4 \cdot \left(- \frac{2}{3}\right) = \frac{44}{27}$.

$x = 1$ - точка минимума,

$f \left(1\right) = 2 - 1 - 4 = - 3$

Представим результаты исследования в виде таблицы:

Найдём точки пересечения с осями координат:

(0;0) - точка пересечения с осью $O y$;

$2 x^{3} - x^{2} - 4 x = 0$

$x \cdot \left(2 x^{2} - x - 4\right) = 0$

$x_{1} = 0 ; x_{2} = \frac{\left(1 - \sqrt{33}\right)}{4} ; x_{3} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$ - абсциссы точек пересечения с осью $O x$.

Таким образом, график функции пересекает координатные оси в точках $\left(0 ; 0\right) ; \left(\frac{1 - \sqrt{33}}{4} ; 0\right)$ и $\left(\frac{1 + \sqrt{33}}{4} ; 0\right)$.

Рис. 3.

Построим график функции (рис. 3).                                                                                                          

Особенности исследования и построения графиков чётных и нечётных функций

Для построения графика чётной (нечётной) функции достаточно исследовать свойства и построить её график для $x > 0$, а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат).

Построить график функции $y = - x^{4} + 5 x^{2} - 4$.

Решение

1. Найдём область определения функции: $D \left(y\right) = \left(- \infty ; + \infty\right)$

2. Исследуем функцию на чётность, нечётность

$f \left(- x\right) = - \left(- x\right)^{4} + 5 \cdot \left(- x\right)^{2} - 4 = - x^{4} + 5 x^{2} - 4 = f \left(x\right) \Rightarrow$ данная функция является чётной. Таким образом, исследовать функцию и строить график будем сначала при $x \geq 0$.

3. Найдём производную функции: $y^{'} = \left(- x^{4} + 5 x^{2} - 4\right)^{'} = - 4 x^{3} + 10 x$.

4. Найдём стационарные точки на промежутке $[ 0 ; + \infty )$: 

$- 4 x^{3} + 10 x = 0$

$2 x \cdot \left(- 2 x^{2} + 5\right) = 0$

$x_{1} = 0 , x_{2} = \sqrt{2,5}$

Рис. 4.

5. Найдём промежутки возрастания и убывания (рис. 4):

 

Функция возрастает на интервале $\left(0 ; \sqrt{2,5}\right)$.

Функция убывает на интервале $\left(\sqrt{2,5} ; + \infty\right)$.                                                                               

6. Найдём точки экстремума и значения функции в них:

$f ( 0 ) = - 4$;

$x = \sqrt{2,5}$ точка максимума, $f \left(\sqrt{2,5}\right) = - \left(\sqrt{2,5}\right)^{4} + 5 \left(\sqrt{2,5}\right)^{2} - 4 = 2,25$.

Представим результаты исследования в виде таблицы:

Найдём точки пересечения с осями координат на промежутке $[ 0 ; + \infty )$:

Если $x = 0$, то $y = - 4 \Rightarrow ( 0 ; - 4 )$– точка пересечения с осью $O y$.

Если $y = 0$, то $- x^{4} + 5 x^{2} - 4 = 0$

$x_{1} = 1 ; x_{2} = 2 \Rightarrow ( 1 ; 0 ) \text{и} ( 2 ; 0 )$ – точки пересечения с осью $O x$.

Рис. 5.

Используя результаты исследования, строим график функции при $x \geq 0$. График этой функции при $x < 0$ строим с помощью симметрии относительно оси $O y$ (рис. 5).

1. Постройте графики функций:

 а) $y = x^{3} - 3 x^{2} + 4$;  б) $y = 3 x^{5} - 5 x^{3}$; в) $y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$.

Рис. 6.

2. На рисунке 6 изображен график функции $y = f ( x )$, определенной на интервале $( - 3 ; 9 )$. Найдите:

а) промежутки, в которых производная функции меньше нуля; 

б) промежутки, в которых производная функции больше нуля;

в) точки в которых производная равна нулю.