Конспект урока: Производные некоторых элементарных функций

Вы уже знакомы со степенной, показательной, логарифмической, тригонометрическими функциями и их комбинациями, все они являются элементарными функциями. Часто на практике требуется находить производные этих функций.

Производная показательной функции

Пусть дана функция $f ( x ) = a^{x}$, где $a > 0 , a \neq 1$. Областью определения функции $f ( x )$ является вся числовая прямая, в каждой точке которой она имеет производную.

С помощью свойства логарифма выразим $a^{x}$ через $e^{x}$:

$e^{x \ln a} = \left( e^{\ln a} \right)^{x} = a^{x}$.

Функция $e^{x}$ обладает замечательным свойством:  ее  производная также  равна  $e^{x}$, т. е. $( e^{x} )$'$= e^{x}$.

Найдем производную $e^{k x + b}$ по правилу дифференцирования сложной функции:

$( e^{k x + b} )$'$= e^{k x + b} \cdot ( k x + b )$'$= k e^{k x + b}$.

А теперь найдем производную показательной функции:

$( a^{x} )$'$= ( e^{x \ln a} )$'$= e^{x \ln a} \cdot ( x \ln a )$'$= \ln a \cdot e^{x \ln a} = \ln a \cdot a^{x}$.

Например, $( 4^{x} )$'$= 4^{x} \ln 4$; $( 0,5^{x} )$'$= 0,5^{x} \ln 0,5$.

Производная логарифмической функции

Пусть дана функция $f ( x ) = \log_{a} x$, где $a > 0 , a \neq 1$. Областью определения функции $f ( x )$ является интервал $( 0 ; + \infty )$.

С помощью формулы перехода выразим $\log_{a} x$ через логарифмическую функцию с основанием $e$:

$\log_{a} x = \frac{\ln x}{\ln a}$.

Производная функции $\ln x$ выражается формулой $( \ln x )$'$= \frac{1}{x}$.

Найдем производную $\ln ( k x + b )$ по правилу дифференцирования сложной функции:

$( \ln ( k x + b ) )$'$= \frac{1}{k x + b} \cdot ( k x + b )$'$= \frac{k}{k x + b}$.

А теперь найдем производную логарифмической функции:

$( \log_{a} x )$'$= ( \frac{\ln x}{\ln a} )$'$= \frac{1}{\ln a} ( \ln x )$'$= \frac{1}{x \ln a}$.

Например, $( \log_{2} x )$'$= \frac{1}{x \ln 2}$; $( \log_{0,2} x )$'$= \frac{1}{x \ln 0,2}$.

Производные тригонометрических функций

Пусть дана функция $f ( x ) = \sin x$. Найдем ее производную, пользуясь определением производной. Составим разностное отношение:

$\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = \frac{\sin ( x + h ) - \sin x}{h} = \frac{2 \sin \frac{x + h - x}{2} \cos \frac{x + h + x}{2}}{h} = \frac{2 \sin \frac{h}{2} \cos ( x + \frac{h}{2} )}{h} = \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \cos ( x + \frac{h}{2} )$.

При $h \rightarrow 0 x + \frac{h}{2} \rightarrow x$, тогда $\cos ( x + \frac{h}{2} ) \rightarrow \cos x$. В курсе высшей математики доказывается первый замечательный предел $\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin x}{x} = 1$, тогда $\underset{h \rightarrow 0}{\lim} ( \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \cos ( x + \frac{h}{2} ) ) = \cos x$. Получили, что $( \sin x )$'$= \cos x$.

Аналогично можно доказать, что $( \cos x )$'$= - \sin x$.

Пусть дана функция $f ( x ) = \operatorname{tg} x$. Найдем ее производную, для этого воспользуемся определением тангенса, правилом дифференцирования частного, только что доказанными формулами, основным тригонометрическим тождеством:

$( \operatorname{tg} x )$'$= ( \frac{\sin x}{\cos x} )$'$= \frac{( \sin x ) ' \cos x - ( \cos x ) ' \sin x}{\cos^{2} x} = \frac{\cos^{2} x + \sin^{2} x}{\cos^{2} x} = \frac{1}{\cos^{2} x}$.

Аналогичными рассуждениями: $( \operatorname{ctg} x )$'$= - \frac{1}{\sin^{2} x}$.

Найти производную функции  

1. $f ( x ) = \cos x \sin^{2} x - \frac{1}{4} \cos ( 2 x + 1 )$;

2. $f ( x ) = e^{2 - 3 x} + \ln ( \frac{x}{3} + 4 )$;

3. $f ( x ) = \operatorname{tg} x \sqrt{2 x - 3}$.

Решение

1. $f$'$\left(x\right) = \left(\cos x \sin^{2} x\right)$'$- \frac{1}{4} \left(\cos \left(2 x + 1\right)\right)$'$= - \sin x \cdot \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x \cdot \cos x +$

$+ \frac{1}{4} \sin \left(2 x + 1\right) \cdot 2 = - \sin^{3} x + \sin 2 x \cos x + \frac{1}{2} \sin \left(2 x + 1\right)$;

2. $f$'$\left(x\right) = \left(e^{2 - 3 x}\right)$'$+ \left(\ln \left(\frac{x}{3} + 4\right)\right)$'$= e^{2 - 3 x} \cdot \left(- 3\right) + \frac{1}{\frac{x}{3} + 4} \cdot \frac{1}{3} = - 3 e^{2 - 3 x} + \frac{1}{x + 12}$;

3. $f$'$\left(x\right) = \frac{1}{\cos^{2} x} \sqrt{2 x - 3} + \frac{1}{2 \sqrt{2 x - 3}} \cdot 2 \cdot \operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{2 x - 3}}{\cos^{2} x} + \frac{\operatorname{tg} x}{\sqrt{2 x - 3}}$.

Ответ: 1. $- \sin^{3} x + \sin 2 x \cos x + \frac{1}{2} \sin \left(2 x + 1\right)$; 

              2. $- 3 e^{2 - 3 x} + \frac{1}{x + 12}$;  

              3. $\frac{\sqrt{2 x - 3}}{\cos^{2} x} + \frac{\operatorname{tg} x}{\sqrt{2 x - 3}}$.

Найти производную функции $f ( x )$, если:

1. $f ( x ) = \sin ( x^{2} - 4 )$;

2. $f ( x ) = \sqrt[4]{\log_{3} x}$;

3. $f ( x ) = ( x + 2 ) \sqrt{2 x + 2} - 2 x$.

Вычислить $f$'$( 2 )$, если $f ( x ) = e^{2 - x} + \log_{3} ( 3 x - 2 )$.

Решение

$f$'$( x ) = e^{2 - x} \cdot ( - 1 ) + \frac{1}{( 3 x - 2 ) \ln 3} \cdot 3 = - e^{2 - x} + \frac{3}{( 3 x - 2 ) \ln 3}$.

$f$'$( 2 ) = - e^{0} + \frac{3}{4 \ln 3} = - 1 + \frac{3}{4 \ln 3}$

Ответ: $- 1 + \frac{3}{4 \ln 3}$.

Вычислить $f$'$( 1 )$, если $f ( x ) = \ln ( 3 x - 2 ) + 3^{2 x}$.