Конспект урока: Наибольшее и наименьшее значения функции

Свойства функции, непрерывной на отрезке

Рис. 1.

На практике довольно часто приходится вычислять наибольшее и наименьшее значения функции. Такие задачи решаются тогда, когда выясняют как минимизировать издержки, увеличить прибыль, оптимизировать производство и т.д., то есть в тех случаях, когда нужно определить оптимальное значение некоторого параметра. Решить задачу на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции можно с помощью производной.

 

Чтобы понять как это сделать, проанализируем графики на рисунке 1 и сформулируем некоторые свойства функции, непрерывной на отрезке. 

Из этих свойств и вытекает способ нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, который мы сформулируем в виде алгоритма.

Алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции $y = f ( x )$ на заданном отрезке $[ a ; b \left]\right.$

Рассмотрим примеры решения задач на отыскание наименьшего и наибольшего значений функции.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 1$ на отрезке $[ - 1 ; 3 \left]\right.$.

Решение:

Воспользуемся алгоритмом.

1. Найдём производную: 

$y^{'} = ( x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 1 )^{'} = 3 x^{2} - 18 x + 24$.

2. Производная существует при всех $x$. Найдём точки, в которых производная равна нулю:

$3 x^{2} - 18 x + 24 = 0$

$D = 324 - 288 = 36$

$x_{1} = \frac{18 - 6}{6} = 2$; $x_{2} = \frac{18 + 6}{6} = 4$.

3. Одна из этих стационарных точек ($x = 2$) принадлежит заданному отрезку $[ - 1 ; 3 \left]\right.$. Найдём значения функции на концах данного отрезка и в критической точке $x = 2$:

$f ( - 1 ) = ( - 1 )^{3} - 9 \cdot \left( - 1 \right)^{2} + 24 \cdot ( - 1 ) - 1 = - 1 - 9 - 24 - 1 = - 35$ 

$f ( 3 ) = 3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 24 \cdot 3 - 1 = 27 - 81 + 72 - 1 = 17$ 

$f ( 2 ) = 2^{3} - 9 \cdot 2^{2} + 24 \cdot 2 - 1 = 8 - 36 + 48 - 1 = 19$ 

Осталось выбрать наименьшее и наибольшее значения.

Ответ: $y_{\text{наим}} = - 35$; $y_{\text{наиб}} = 19$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x + \frac{4}{x - 1}$ на отрезке $[ 2 ; 4 \left]\right.$.

Решение:

1. Найдём производную:

$y^{'} = \left(x + \frac{4}{x - 1}\right)^{'} = 1 - \frac{4}{( x - 1 )^{2}} = \frac{( x - 1 )^{2} - 4}{( x - 1 )^{2}} = \frac{x^{2} - 2 x + 1 - 4}{( x - 1 )^{2}} = \frac{x^{2} - 2 x - 3}{( x - 1 )^{2}}$.

2. Найдём критические точки:

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 

$D = 4 + 12 = 16$

$x_{1} = \frac{2 - 4}{2} = - 1$; $x_{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$.

3. Из найденных точек только $x = 3$ принадлежит отрезку $[ 2 ; 4 \left]\right.$. Найдём значения функции на концах данного отрезка и в критической точке $x = 3$:

$f ( 2 ) = 2 + \frac{4}{2 - 1} = 6$ 

$f ( 4 ) = 4 + \frac{4}{4 - 1} = 5 \frac{1}{3}$ 

$f ( 3 ) = 3 + \frac{4}{3 - 1} = 5$

Ответ: $y_{\text{наим}} = 5$; $y_{\text{наиб}} = 6$.

Вокруг прямоугольного поля площадью $S$, равной $400$ га должны быть посажены со всех сторон деревья в виде полосы шириной $l$, равной $10$ м. Каковы должны быть линейные размеры поля, чтобы площадь, занимаемая деревьями, была наименьшей?

Решение

Рис. 2. Прямоугольное поле

Обозначим одну из сторон прямоугольного поля переменной $x$ (рис. 2). 

Площадь этого поля $S = 400 \text{га} = 4000000 \text{м}^{2}$.

 

Значит, другая сторона поля равна $\frac{4000000}{x} \text{м}$.

 

Введём функцию $f ( x )$, значение которой равно площади полосы деревьев вокруг поля.

 

$f ( x ) = ( x + 20 ) \cdot \left(\frac{4000000}{x} + 20\right) - 4000000$.

 

После преобразований получим $f ( x ) = 20 x + \frac{80000000}{x} + 400$.

 

Найдём производную этой функции

 

 $f^{'} ( x ) = \left(20 x + \frac{80000000}{x} + 400\right)^{'} = 20 - \frac{80000000}{x^{2}}$.

 

Найдём стационарные точки.

 

$20 - \frac{80000000}{x^{2}} = 0 \Rightarrow x = 2000$ (учитывая, что $x > 0$).

Рис. 3.

Данная точка является единственной точкой минимума (рис. 3). Поэтому в ней функция $f ( x )$ будет принимать наименьшее значение. Таким образом, одна из сторон поля равна 2000 м. Тогда и другая сторона равна $\frac{4000000}{2000} = 2000 \text{м}$.

 

Ответ: Поле должно иметь форму квадрата со стороной 2 км.

Иногда наибольшее и наименьшее значения функции нужно находить не на отрезке, а не интервале. Часто встречаются задачи, в которых функция $f ( x )$ имеет только одну стационарную точку на заданном интервале: точку максимума или точку минимума. Тогда в точке максимума функция $f ( x )$ принимает свое наибольшее значение на интервале, а в точке минимума – наименьшее значение.

Также при решении задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции можно использовать следующее утверждение:

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2 x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 1$ на отрезке $[ - 2 ; 1 \left]\right.$.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^{2} \cdot \sqrt{3 - x}$ на отрезке $[ 1 ; 3 \left]\right.$.
3. Площадь, занимаемая печатным текстом, составляет на странице книги 363 см². Ширина полей вверху и внизу страницы составляет по 2 см, а ширина боковых полей по 1,5 см. Каковы должны быть размеры каждой страницы, чтобы площадь её была наименьшей?