- Применение производной для нахождения промежутков монотонности функций
- Теорема Лагранжа
- Достаточное условие возрастания (убывания) функции
- Знать понятие «промежутки монотонности функции»
- Знать достаточное условие возрастания (убывания) функции, теорему Лагранжа
- Уметь применять производную для нахождения промежутков монотонности функции
Рис. 1. а) y=f(x) б) y=g(x)
- Определение возрастающей функции на промежутке. Определение убывающей функции на промежутке.
- По рисунку 1 определите промежутки возрастания и убывания каждой из функций $y = f ( x )$, $y = g ( x )$.
- Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции $f ( x ) = x^{3} - 8$ в точке пересечения этого графика с осью абсцисс.
- Назовите знак тангенса острого угла, тупого угла.
Для изучения различных свойств функции, таких как промежутки возрастания и убывания, наибольшие и наименьшие значения, выпуклости и вогнутости применяют производные.
Рассмотрим ее применение при нахождении промежутков возрастания и убывания функции.
Рис. 2. 1 случай
Пусть дана функция $f ( x )$, определенная на некотором множестве $X$. Рассмотрим два случая.
1 случай. Значения производной функции $f ( x )$ положительны на некотором промежутке, т.е. $f^{'} ( x ) > 0$. Так как производная функции – тангенс угла наклона касательной к этой функции в любой точке этого промежутка к положительному направлению оси $O x$, то в данном случае $\operatorname{tg} \alpha > 0$, и, значит, касательная образует острый угол с осью $O x$ (Рис. 2). Отсюда, график функции на этом промежутке «идет вверх», т.е. функция $f ( x )$ возрастает на нем.
Рис. 3. 2 случай
2 случай. Значения производной функции $f ( x )$ отрицательны на некотором промежутке, т.е. $f^{'} ( x ) < 0$. Тогда $\operatorname{tg} \alpha < 0$, и, значит касательная образует тупой угол с положительным направлением оси $O x$ (Рис. 3). Отсюда, график функции на этом промежутке «идет вниз», т.е. функция $f ( x )$ убывает на нем.
Из рассмотренных двух случаев сделаем вывод.
Если $f^{'} ( x ) > 0$ на некотором промежутке, то функция $f ( x )$ возрастает на этом промежутке.
Если $f^{'} ( x ) < 0$ на некотором промежутке, то функция $f ( x )$ убывает на этом промежутке.
Теорема Лагранжа
Перед тем как мы сформулируем и докажем достаточное условие возрастания (убывания) функции, сформулируем вспомогательное утверждение, называемое теоремой Лагранжа.
Теорема Лагранжа
Если функция $f \left(x\right)$ непрерывна на отрезке $[ a ; b \left]\right.$ и дифференцируема на интервале $( a ; b )$, то в этом интервале существует точка $c$ такая, что
$f ( b ) - f ( a ) = f^{'} ( c ) ( b - a )$ (1)
Рис. 4. Геометрический смысл теоремы Лагранжа
Доказательство этой формулы приводится в курсе высшей математики. В чем же ее геометрический смысл?
Пусть на графике функции $y = f ( x )$ взяты точки $A ( a ; f ( a ) )$ и $B ( b ; f ( b ) )$. Проведем через них секущую $l$, ее угловой коэффициент равен $\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$.
Выразим из формулы (1) $f^{'} \left(c\right)$, получим $f^{'} \left(c\right) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$. Видим, что угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f ( x )$ в точке $C ( c ; f ( c ) )$ равен угловому коэффициенту секущей $l$, т.е. на промежутке $( a ; b )$ найдется такая точка $c$, что в точке графика с этой абсциссой касательная к графику функции $y = f ( x )$ будет параллельна секущей.
Достаточное условие возрастания (убывания) функции
Если функция $f ( x )$ дифференцируема на интервале $( a ; b )$ и $f^{'} ( x ) > 0$ $\left(f^{'} ( x ) < 0\right)$ для всех $x \in ( a ; b )$, то функция возрастает (убывает) на интервале $( a ; b )$.
Доказательство
Докажем эту теорему для условия возрастания функции.
Возьмем две произвольные точки $x_{1}$ и $x_{2}$ из интервала $( a ; b )$, такие, что $x_{1} < x_{2}$ и применим теорему Лагранжа к отрезку $\left[x_{1} ; x_{2}\right]$:
$f \left(x_{2}\right) - f \left(x_{1}\right) = f^{'} ( c ) \left(x_{2} - x_{1}\right)$, где $c \in \left(x_{1} ; x_{2}\right)$.
По условию $f^{'} ( c ) > 0$ и т.к. $x_{1} < x_{2}$, то $x_{2} - x_{1} > 0$, тогда $f \left(x_{2}\right) - f \left(x_{1}\right) > 0$, $f \left(x_{2}\right) > f \left(x_{1}\right)$, что в свою очередь и означает, что функция $f ( x )$ возрастает на $( a ; b )$, что и требовалось доказать.
Доказательство условия убывания функции проводится аналогично.
Таким же способом можно доказать, что если функция $f ( x )$ непрерывна на отрезке $\left[a ; b\right]$ и $f^{'} ( x ) > 0$ ($f^{'} ( x ) < 0$) на интервале $( a ; b )$, то она возрастает (убывает) на отрезке $[ a ; b \left]\right.$.
Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности этой функции.
Пример 1
Найти промежутки возрастания и убывания функции
- $f ( x ) = x^{3} - 3 x$;
- $f ( x ) = \sqrt{2 x - 1}$.
Решение
3-3x" loading="lazy" />
Рис. 5. Знаки производной функции f(x)=x3-3x
1. Найдем производную данной функции
$f^{'} ( x ) = 3 x^{2} - 3 = 3 ( x^{2} - 1 ) =$ $= 3 ( x - 1 ) ( x + 1 )$.
С помощью метода интервалов определим промежутки, где $f^{'} ( x )$ положительна и где отрицательна (рис.5). Получили, что $f^{'} ( x ) > 0$ при $x \in ( - \infty ; - 1 ) \cup ( 1 ; + \infty )$ и $f^{'} ( x ) < 0$ при $x \in ( - 1 ; 1 )$, тогда функция возрастает при $x < - 1$, $x > 1$ и убывает при $- 1 < x < 1$. Так как функция $f ( x )$ дифференцируема на всей числовой прямой, то она непрерывна на множестве $R$ действительных чисел, тогда функция возрастает при $x \leq - 1$, $x \geq 1$ и убывает при $- 1 \leq x \leq 1$.
2. Область определения данной функции $x \geq \frac{1}{2}$.
$f^{'} ( x ) = \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$. При $x > \frac{1}{2}$производная принимает только положительные значения, тогда функция возрастает на промежутке $\left(\frac{1}{2} ; + \infty\right)$. Заметим, что функция $f ( x ) = \sqrt{2 x - 1}$ возрастает не только на промежутке $\left(\frac{1}{2} ; + \infty\right)$, но и на $[ \frac{1}{2} ; + \infty )$.
Ответ: 1) $( - \infty ; - 1 \left]\right. \cup [ 1 ; + \infty )$ – промежутки возрастания функции; $[ - 1 ; 1 \left]\right.$ – промежуток убывания функции.
2) $[ \frac{1}{2} ; + \infty )$ – промежуток возрастания функции.
Пример 2
Доказать, что функция $f ( x ) = x^{2} + \frac{16}{x}$ возрастает на промежутке $( 2 ; + \infty )$ и убывает на промежутках $( - \infty ; 0 ) \cup ( 0 ; 2 )$.
Решение
Рис. 6. Знаки производной функции
Найдем производную данной функции
$f^{'} ( x ) = 2 x - \frac{16}{x^{2}} = 2 \left(x - \frac{8}{x^{2}}\right) = 2 \left(\frac{x^{3} - 8}{x^{2}}\right) =$
$= \frac{2 \left(x - 2\right) \left(x^{2} + 2 x + 4\right)}{x^{2}}$.
Применив метод интервалов (рис. 6), видим, что при $x > 2$ $f^{'} ( x ) > 0$, при $x \in ( - \infty ; 0 ) \cup ( 0 ; 2 )$ $f^{'} ( x ) < 0$. Тогда функция $f ( x )$ возрастает при $x > 2$ и убывает при $x \in ( - \infty ; 0 ) \cup ( 0 ; 2 )$, что и требовалось доказать.
Упражнение
1. Найти промежутки возрастания и убывания функции
1) $f ( x ) = 4 + 12 x + 3 x^{2} - 2 x^{3}$;
2) $f ( x ) = \sqrt{x - 2 x^{2}}$.
2. Доказать, что функция $f ( x ) = x^{2} - \frac{2}{x}$ убывает на промежутке $( - \infty ; - 1 )$ и возрастает на промежутках $( - 1 ; 0 ) \cup ( 0 ; + \infty )$.
Контрольные вопросы
- Сформулируйте достаточное условие возрастания функции на отрезке $M$.
- Сформулируйте достаточное условие убывания функции на отрезке $M$.
- Для функции $f ( x )$ на промежутке $M$ выполняется неравенство $f^{'} ( x ) > 0$. Что можно сказать про монотонность функции $f ( x )$?
- Для функции $f ( x )$ на промежутке $M$ выполняется неравенство $f^{'} ( x ) < 0$. Что можно сказать про монотонность функции $f ( x )$?
Упражнение
1) $[ - 1 ; 2 \left]\right.$ – промежуток возрастания, $( - \infty ; - 1 \left]\right. \cup [ 2 ; + \infty )$ – промежутки убывания;
2)$\left[0 ; \frac{1}{4}\right]$ – промежуток возрастания, $\left[\frac{1}{4} ; \frac{1}{2}\right]$ – промежуток убывания.
