Конспект урока: Производная степенной функции. Правила дифференцирования

В предыдущем параграфе мы познакомились с понятием «производная функции», научились ее находить, опираясь на определение. Но не всегда так делать удобно. Докажем несколько полезных формул производных.

Доказать, что $( \frac{1}{x} )$'$= - \frac{1}{x^{2}}$.

Решение

Пусть дана функция $f ( x ) = \frac{1}{x}$. Воспользуемся определением производной, для этого найдем сначала разность:

$f ( x + h ) - f ( x ) = \frac{1}{x + h} - \frac{1}{x} = \frac{x - x - h}{x ( x + h )} = - \frac{h}{x ( x + h )}$.

Составим разностное отношение:

$\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = - \frac{1}{x ( x + h )}$.

Если $h \rightarrow 0$, то $x + h \rightarrow x$, а $x ( x + h ) \rightarrow x^{2}$. Тогда $f$'$\left(x\right) = - \frac{1}{x^{2}}$.

Так как функция $f ( x )$ определена на всей числовой прямой за исключением точки $x = 0$, то $x$ может быть как положительным, так и отрицательным. Если $x > 0$, то $x + h > 0$, если $x < 0$, то и $x + h < 0$, получили, что формула $\left(\frac{1}{x}\right)$'$= - \frac{1}{x^{2}}$ имеет место при $x \neq 0$, что и требовалось доказать.

Доказать, что $( \sqrt{x} )$'$= \frac{1}{2 \sqrt{x}}$.

Решение

Пусть дана функция $f ( x ) = \sqrt{x}$, $x > 0$, $x + h > 0$.

Составим разностное отношение

$\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$.

Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, т. е. на $\sqrt{x + h} + \sqrt{x}$:

$\frac{( \sqrt{x + h} - \sqrt{x} ) ( \sqrt{x + h} + \sqrt{x} )}{h ( \sqrt{x + h} + \sqrt{x} )}$. 

Заметим, что выражение можно упростить, применив формулу произведения разности двух выражений на их сумму, приведя подобные слагаемые и сократив на ненулевое выражение, т. е.

$\frac{x + h - x}{h ( \sqrt{x + h} + \sqrt{x} )} = \frac{h}{h ( \sqrt{x + h} + \sqrt{x} )} = \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}}$.

Если $h \rightarrow 0$, то $\sqrt{x + h} \rightarrow \sqrt{x}$, тогда $\sqrt{x + h} + \sqrt{x} \rightarrow 2 \sqrt{x}$.

Получили, что $\left(\sqrt{x}\right)$'$= \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ при $x > 0$,  что и требовалось доказать.

Рассмотренные примеры являются частными случаями формулы производной степенной функции для любого действительного показателя.

Например, $\left(x^{4}\right)$'$= 4 x^{3}$, $\left(x^{\frac{1}{2}}\right)$'$= \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$, $x^{\sqrt{3}} = \sqrt{3} x^{\sqrt{3} - 1}$.

Из предыдущего параграфа мы знаем формулу производной линейной функции $( k x + b )$'$= k$. Если нужно найти производную функции вида $y = \left( k x + b \right)^{n} , n \in R$, то можно воспользоваться следующей формулой

Например, $( \left( 5 x - 3 \right)^{6} )$'$= 30 \left( 5 x - 3 \right)^{5}$, $( \left( 7 - 2 x \right)^{4} )$'$= - 8 \left( 7 - 2 x \right)^{3}$.

Найти $f$'$( x_{0} )$, если $f ( x ) = \sqrt{4 - 5 x}$, $x_{0} = - 9$.

Решение

Перепишем функцию $f ( x )$ в виде $f \left(x\right) = \left( 4 - 5 x \right)^{\frac{1}{2}}$ и воспользуемся формулой (2):

 $f$'$\left(x\right) = - \frac{5}{2} \left( 4 - 5 x \right)^{- \frac{1}{2}}$.

Если $x_{0} = - 9$, то $f$'$\left(x_{0}\right) = - \frac{5}{2} ( 4 - 5 \left(\cdot ( - 9 ) \right)^{- \frac{1}{2}} = - \frac{5}{14}$.

Ответ: $- \frac{5}{14}$.

1. Найти производную функции $f ( x )$, если:

    1) $f ( x ) = x^{7}$;

    2) $f \left(x\right) = x^{- \frac{3}{5}}$;

    3) $f \left(x\right) = \left( 4 - 6 x \right)^{3}$;

    4) $f \left(x\right) = \frac{1}{\sqrt[7]{x^{2}}}$;

    5) $f \left(x\right) = \frac{1}{\sqrt[4]{\left( \frac{x}{2} - 3 \right)^{3}}}$.

2. Решить уравнение $f ( x ) = f$'$( x )$, если $f \left(x\right) = \left( x + 2 \right)^{2}$.