Конспект урока: Геометрический смысл производной

при k>0" loading="lazy" /> Рис. 1. График функции y=kx+b
при k>0

Пусть дана линейная функция $f ( x ) = k x + b$, графиком которой является прямая. Число $k$ называют угловым коэффициентом прямой. $k = \operatorname{tg} \alpha$, где $\alpha$ — угол между этой прямой и положительным направлением оси $O x$.

Если $k > 0$, то функция возрастает, $\alpha \in ( 0 ; \frac{\pi}{2} )$ (рис. 1).                                                          

Если  $k < 0$, то функция убывает, $\alpha \in ( \frac{\pi}{2} ; \pi )$ (рис. 2).

при k<0" loading="lazy" /> Рис. 2. График функции y=kx+b
при k<0

Рассмотрим график функции $y = f ( x )$. Проведем секущую через любые две точки, например, секущую $A B$ (рис. 3). Пусть $A ( x ; f ( x ) )$, $B ( x + h ; f ( x + h ) )$, $C ( x + h ; f ( x ) )$, $k ( h )$ — угловой коэффициент прямой $A B$. $k ( h ) = \operatorname{tg} \alpha$. Так как прямая $A C$ параллельна оси $O x$, то $\angle B A C = \alpha$. Из прямоугольного треугольника $A B C$ имеем

 $k ( h ) = \operatorname{tg} \angle B A C = \frac{B C}{A C} = \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{x + h - x} = \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$. 

Рис. 3. Геометрический смысл производной

Зафиксируем $x$, тогда точка $A$ будет неподвижна. Если $h \rightarrow 0$, то точка $B$, двигаясь по графику функции, стремится к точке $A$. Предел $k ( h )$ при $h \rightarrow 0$ существует и равен производной функции $f ( x )$. Прямая $A B$ стремится занять положение некоторой прямой, которую называют касательной к графику функции $y = f ( x )$. Получили, что

$f^{'} ( x ) = \operatorname{tg} \alpha$.

Рис. 4. График функции y=f(x) и касательная к нему

Рассмотрим график функции $y = f ( x )$ и касательную к нему (рис. 4). Выведем уравнение касательной к графику дифференцируемой функции в точке $A ( x_{0} ; f ( x_{0} ) )$.

Касательной к графику является прямая, общий вид которой $y = k x + b$. Так как $k = \operatorname{tg} \alpha = f^{'} \left(x_{0}\right)$, то уравнение касательной можно переписать как $y = f^{'} ( x_{0} ) x + b$. Точка $A ( x_{0} ; f ( x_{0} ) )$ принадлежит касательной, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению касательной, т. е. $f ( x_{0} ) = f^{'} ( x_{0} ) x_{0} + b$, откуда $b = f ( x_{0} ) - f^{'} ( x_{0} ) x_{0}$'.

Итак, уравнение касательной $y = f^{'} ( x_{0} ) x + f ( x_{0} ) - f^{'} \left(x_{0}\right) x_{0}$ или $y = f ( x_{0} ) + f^{'} \left(x_{0}\right) \left(x - x_{0}\right)$.

Рис. 5

Напишем уравнение касательной к графику функции $f \left(x\right) = \sqrt{x}$ в точке с абсциссой, равной $1$. Для этого найдем производную функции $f \left(x\right)$, ее значение в точке $x = 1$ и значение самой $f \left(x\right)$ в точке $x = 1$: $f^{'} \left(x\right) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$, $f \left(1\right) = 1$, $f^{'} \left(1\right) = \frac{1}{2}$. 

Тогда уравнение касательной к графику функции $f \left(x\right)$ имеет вид: 

$y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$. 

Найдем точки пересечения прямой $y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ с осями координат, точки $A$ и $B$ (рис. 5). Для точки $A$, точки пересечения с осью абсцисс, ордината равна $0$, тогда 

$0 = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$, 

$x = - 1$. 

То есть у точки $A$ координаты $\left(- 1 ; 0\right)$. Аналогично рассуждая (только теперь абсцисса равна $0$), получим координаты точки $B$: $B \left(0 ; \frac{1}{2}\right)$. 

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A O B$ (рис. 5). Проведем $O H \bot A B$, 
$O H$ — искомое расстояние. 

По формуле нахождения расстояния между двумя точками: 

$A B = \sqrt{\left(- 1 - 0\right)^{2} + \left(0 - \frac{1}{2}\right)^{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$. 

Площадь треугольника $A O B$ равна половине произведения $A B$ и $O H$, но, с другой стороны, она же равна и половине произведения катетов $O A$ и $O B$. Тогда имеем равенство 

$O A \cdot O B = A B \cdot O H$, 

откуда $O H = \frac{O A \cdot O B}{A B}$, т. е. $O H = \frac{1}{\sqrt{5}}$. 

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{5}}$.