Конспект урока: Действительные числа

Множество рациональных чисел

Вам хорошо известно множество натуральных чисел — чисел, которые мы используем при счете: 1, 2, 3, … .

Натуральные числа, противоположные им числа (отрицательные числа) и число нуль составляют множество целых чисел.

На множестве целых чисел не всегда возможно выполнить деление. Для этого вводятся дробные числа (положительные и отрицательные): $\frac{1}{2} , \frac{1}{3} ,$ … . Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел.

Множество целых чисел обозначают буквой Z (от первой буквы немецкого слова Zahl — число).

Множество рациональных чисел обозначают буквой Q (от первой буквы французского слова quontiet — отношение).

Для того чтобы записать, что какое-либо число принадлежит рассматриваемому множеству, используют знак принадлежности $\in$. 

Для того чтобы записать, что число не принадлежит рассматриваемому множеству, используют знак $\notin$.

Используя введенные обозначения множеств N, Z, Q и знак принадлежности, можем записать следующие математические утверждения:

1. «n — натуральное число» — $n \in N$ (читают: «n принадлежит множеству N»);

2. «m — целое число» — $m \in Z$;

3. «k — рациональное число» — $k \in Q$.

Используя обозначения множеств N, Z, Q и знаки $\in$, $\notin$, запишите следующие утверждения:

а) –8 — целое число;

б) –12 — рациональное число; 

в) –79 — не является натуральным числом;

г) 15,6 — не является целым числом.

Решение
 

а) «–8 — целое число» записываем $- 8 \in Z$;

б) «–12 — рациональное число» записываем $- 12 \in Q$; 

в) «–79 — не является натуральным числом» записываем $- 79 \notin N$;

г) «15,6 — не является целым числом» записываем $15,6 \notin Z$.

Ответ: а) $- 8 \in Z$; б) $- 12 \in Q$; в) $- 79 \notin N$; г) $15,6 \notin Z$.

Установите, является ли следующее высказывание истинным: 

а) $- 12 \notin N$; б) $- 3 \in Q$; в) $- \frac{8}{17} \notin Q$; г) $0 \in N$.

Решение
 

а) $- 12 \notin N$ — истинное утверждение, поскольку –12 отрицательное число, а не натуральное;

б) $- 3 \in Q$ — истинное утверждение, поскольку отрицательные целые числа являются элементами множества рациональных чисел; 

в) $- \frac{8}{17} \notin Q$ — ложное утверждение, поскольку дробные числа являются элементами множества рациональных чисел;

г) $0 \in N$ — ложное утверждение, поскольку нуль не является натуральным числом.

Ответ: а) истинное; б) истинное; в) ложное; г) ложное. 

Установите, является ли следующее высказывание истинным: 

а) $- 37 \in N$; б) $- 5 \in N$; в) $- \frac{5}{13} \notin Z$; г) $\frac{3}{8} \in Q$

Для записи используют знак включения: 

$B \subset A$

(читается: «множество $B$ подмножество множества $A$», «множество $B$ содержится во множестве $A$»).

Если хотя бы один элемент множества $B$ не является элементом множества $A ,$ то множество $B$ не будет подмножеством $A .$

Для записи используют перечеркнутый знак включения: 

$B \not\subset A$

(читается: «множество $B$ не содержится во множестве $A$»).

Так, например, множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел, а множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел: 

 $N \subset Z , Z \subset \text{Qили} N \subset Z \subset Q$ .

Введем понятие разности множеств.

Например, разностью множества целых чисел и множества натуральных чисел, является множество, состоящее из отрицательных целых чисел и нуля.

Найдите разность множеств $A$ и $B$:

а) $A$ — множество четных чисел, $B$ — множество чисел кратных 5;

б) $A$ — множество треугольников, $B$ — множество тупоугольных треугольников. 

Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби

Т.е. рациональное число — это отношение целого числа к натуральному числу. Одно и то же число можно представить в таком виде разными способами.

Например, $\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{4}{12} = \frac{50}{150}$, $1 \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = \frac{6}{4} = \frac{150}{100}$, $- 0,2 = \frac{- 2}{10} = \frac{- 1}{5} = \frac{- 14}{70}$, $3 = \frac{3}{1} = \frac{6}{2} = \frac{21}{7}$.
 

Среди дробей, с помощью которых записывается данное рациональное число, всегда можно указать дробь с наименьшим знаменателем. Эта дробь несократима. Для целых чисел такая дробь имеет знаменатель, равный 1.

Представьте в виде дроби с наименьшим натуральным знаменателем числа:
 

$13 ; - 21 ; 3,1 ; - 0,25 ; 7 \frac{1}{3} ; - \frac{4}{8} .$

Рассмотрим вопрос о представлении рациональных чисел в виде десятичных дробей. 

Представим в виде десятичной дроби $\frac{7}{40}$. Для этого разделим числитель на знаменатель дроби. Получим:

 

Таким образом,  $\frac{7}{40} = 0,175 .$
 

Точно так же можно показать $\frac{1}{4} = 0,25 ; \frac{3}{8} = 0,375 ; - \frac{3}{5} = - 0,6$. В этих случаях мы получаем конечные десятичные дроби.

Применим теперь этот способ обращения обыкновенной дроби в десятичную дробь к числу $\frac{4}{11} .$ Делим числитель на знаменатель. 
Как видим, что сколько бы мы не продолжали деление, мы не получим остаток 0. Значит, деление никогда не закончится.

Говорят, что дробь $\frac{4}{11}$ обращается в бесконечную десятичную дробь 0, 3636…

$\frac{4}{11} = 0,3636 . . .$

Как видим, в записи дроби 0,3636… есть повторяющаяся группа цифр 3 и 6. 

Таким образом, дробь $\frac{4}{11}$ записывается:

$\frac{4}{11} = 0,3636 . . . = 0 , ( 36 ) .$

Эта запись читается так: нуль целых, тридцать шесть в периоде. 

Число $\frac{5}{12}$ также записывается в виде бесконечной десятичной периодической дроби:

$\frac{5}{12} = 0,41666 . . . = 0,41 ( 6 ) .$

Эта запись читается так: нуль целых, сорок одна сотая, шесть в периоде.

Любую конечную десятичную дробь и любое целое число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби, приписав справа в качестве десятичных знаков бесконечную последовательность нулей. Например:
 

$4,5 = 4,5000 . . . , - 3,2 = - 3,2000 . . .$

Таким образом, 

Верно и обратное утверждение:

Каждая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет собой некоторое рациональное число.

Например:

$0,1 ( 6 ) = \frac{1}{6} ; 0,3 ( 571428 ) = \frac{5}{14}$.
 

Эти равенства несложно проверить, выполнив деление.

Разные бесконечные десятичные периодические дроби представляют разные рациональные числа. Исключением являются дроби с периодом 9, которые считают другой записью дробей с периодом 0:
 

$0,1 ( 9 ) = 0,1999 . . . = 0,2000 . . . = 0,2 ; \\ 1 , ( 9 ) = 1,999 . . . = 2,000 . . . = 2 .$

Бесконечные десятичные дроби с периодом 9 заменяют дробями с периодом 0. Заметим, что при обращении обыкновенной дроби в десятичную не может получиться дробь с периодом 9.

Представьте в виде бесконечной десятичной дроби число:

а) $\frac{2}{3}$; б) $\frac{7}{6}$; в) $- \frac{3}{7}$; г) $- \frac{11}{9}$; д) $3$; е) $1,28$; ж) $\frac{5}{8}$; з) $\frac{3}{11}$.

Сравните рациональные числа:

а) 0,137 и 0,173; б) $\frac{5}{6}$ и $\frac{6}{7}$; в) –3 и –3,1; 

г) $- 2 \frac{1}{4}$ и –2,25; д) 0,074 и $\frac{3}{40}$; е) $\frac{5}{16}$ и 0,312.

1. Нуль это натуральное число?

2. Какие числа образуют множество рациональных чисел?

2. Как обозначают множество рациональных чисел?

3. В каком виде можно представить рациональные числа?

4. Как можно представить конечную десятичную дробь в виде бесконечной десятичной дроби?

5. Как связаны дроби с периодом 0 и периодом 9?