Конспект урока: Центральные и вписанные углы

Рис. 1. Углы на плоскости

До сих пор мы изучали только те углы, градусная мера которых не превышала 180°. Расширим понятие угла и введем в рассмотрение вместе с самим углом части, на которые он делит плоскость. На рис. 1 угол $\left(a b\right)$ делит плоскость на две части, каждая из которых называется плоским углом. Их градусные меры равны $\alpha$ и ($360^{\circ} - \alpha$). Используем понятие плоского угла для определения центрального угла в окружности.

Рис. 2. Центральный угол и дуга окружности

На рис. 2, а, б стороны угла с вершиной в центре окружности $O$ пересекают данную окружность в точках $A$ и $B$. При этом образуются две дуги, одна из которых меньше полуокружности (на ней обозначена промежуточная точка $L$, рис. 2, а), а другая — больше полуокружности (на ней обозначена промежуточная точка $M$, рис. 2, б). Для того, чтобы уточнить, какой из двух плоских углов со сторонами $O A$ и $O B$ мы рассматриваем как центральный, мы будем указывать дугу окружности, которая соответствует данному центральному углу (т. е. содержится внутри него). 

На рис. 2, а центральному углу $A O B$, обозначенному дужкой, соответствует дуга $A L B$, а на рис. 2, б — дуга $A M B$. В случае, когда лучи $O A$ и $O B$ дополнительные, соответствующая дуга $A N B$будет полуокружностью (рис. 2, в).

Рис. 3. Вписанный угол ABC

На рис. 3 изображен вписанный угол $A B C$. Его вершина $B$ лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках $A$ и $C$. Дуга $A C$ (на рисунке она выделена) лежит внутри этого угла. В таком случае говорят, что вписанный угол $A B C$опирается на дугу $A C$. 

Рис. 4. Измерение вписанного угла

Пусть в окружности с центром $O$ вписанный угол $A B C$ опирается на дугу $A C$. Докажем, что $\angle A B C = \frac{1}{2} ◡ A C$. Рассмотрим три случая расположения центра окружности относительно данного вписанного угла (рис. 4, а-в).

1) Пусть центр окружности лежит на одной из сторон данного угла (рис. 4, а). В этом случае центральный угол $A O C$ является внешним углом при вершине $O$ равнобедренного треугольника $A O B$. По теореме о внешнем угле треугольника $\angle A O C = \angle 1 + \angle 2$. А поскольку углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника $A O B$, то $\angle A O C = 2 \angle A B C$, т.е. $\angle A B C = \frac{1}{2} \angle A O C = \frac{1}{2} ◡ A C$.

2) Пусть центр окружности лежит внутри угла $A B C$ (рис. 4, б). Луч $B O$ делит угол $A B C$ на два угла. По только что доказанному

$\angle A B D = \frac{1}{2} ◡ A D$, $\angle C B D = \frac{1}{2} ◡ D C$, следовательно, $\angle A B C = \frac{1}{2} ( ◡ A D + ◡ D C ) = \frac{1}{2} ◡ A C$.

3) Аналогично в случае, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 4, в), 

$\angle A B C = \frac{1}{2} ( ◡ D C - ◡ A D ) = \frac{1}{2} ◡ A C$.

Теорема доказана. 

Только что доказанную теорему можно сформулировать иначе.

Рис. 5. К решению примера 1

Для того чтобы найти угол $B D C$, необходимо найти градусную меру дуги $B C$, на которую он опирается (рис. 5). Но непосредственно по данным задачи мы можем найти только градусную меру дуги $A B$, на которую опирается угол $B C A$ из теоремы о вписанном угле и $◡ A B = 2 \angle B C A = 2 \cdot 50^{\circ} = 100^{\circ}$. Заметим, что дуги $A B$ и $B C$ вместе составляют полуокружность, т.е. $◡ A B + ◡ B C = 180^{\circ}$, следовательно, $◡ B C = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$. Тогда по теореме о вписанном угле $\angle B D C = \frac{1}{2} ◡ B C = \frac{1}{2} \cdot 80^{\circ} = 40^{\circ}$.

Ответ: 40°.

Рис. 6. Вписанные углы, опирающиеся на дугу BC, равны

Действительно, по теореме о вписанном угле градусная мера каждого из вписанных углов на рис. 6 равна половине дуги $B C$.

Рис. 7. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность

Действительно, поскольку градусная мера полуокружности равна 180°, то угол, опирающийся на полуокружность, равен $\frac{1}{2} \cdot 180^{\circ} = 90^{\circ}$(рис. 7). 

Рис. 8. К доказательству теоремы об отрезках пересекающихся хорд

По данным рис. 8 докажем, что $A M \cdot B M = C M \cdot D M .$

Пусть хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $M$. Проведем хорды $A C$ и $B D$. Треугольники $A C M$ и $D B M$ подобны по двум углам: $\angle C = \angle B$ как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $A D$, а углы при вершине $M$ равны как вертикальные. 

Из подобия треугольников следует, что $\frac{A M}{D M} = \frac{C M}{B M}$, 
т. е. $A M \cdot B M = C M \cdot D M$.

Теорема доказана.

Рис. 9. К задаче 2

1. В окружности построен центральный угол. Найдите градусные меры дуг, которые образовались, если:

а) одна из них больше другой на 120°;

б) они относятся как 2:7.

2. По данным рис. 9 найдите угол $x$ (точка $O$ — центр окружности).

3. Отрезок $A C$ — диаметр окружности с центром $O$, а точка $B$ лежит на этой окружности. Найдите:

а) угол между хордами $B A$ и $B C$;

б) отрезок $A C$, если $B O$= 5 см.

4. При пересечении хорды с диаметром окружности хорда делится на отрезки длиной 3 см и 4 см, а диаметр — в отношении 1:3. Найдите

радиус окружности.