Конспект урока: Описанная окружность

Рис. 1. Окружность, описанная около треугольника ABC

Окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на данной окружности. 

В этом случае говорят, что треугольник является вписанным в данную окружность. На рис. 1 окружность с центром $O$ описана около треугольника $A B C$. Поскольку все вершины треугольника лежат на описанной окружности, то все они равноудалены от центра окружности. Этот факт лежит в основе доказательства теоремы об описанной окружности.

Рис. 2. К доказательству теоремы об окружности, описанной около треугольника

Пусть прямые $a$ и $b$ — серединные перпендикуляры к сторонам $A B$ и $B C$ данного треугольника $A B C$ (рис. 2). 

Мы уже доказали, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая равноудалена от вершин треугольника. Таким образом, $a$ и $b$ пересекаются в точке $O$ и $O A = O B = O C$. Следовательно, существует окружность с центром $O$, проходящая через все вершины треугольника $A B C$.

Докажем методом от противного, что такая окружность единственна. 

Допустим, что около треугольника можно описать еще одну окружность, отличную от построенной. Тогда центр этой окружности равноудален от вершин треугольника и потому совпадает с $O$ — точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. 

Радиус этой окружности равен расстоянию от точки $O$ до вершин треугольника. Значит, эта окружность совпадает с построенной. 

И наконец, серединный перпендикуляр с к стороне $A C$ содержит все точки, равноудаленные от точек $A$ и $C$. Поскольку точка $O$ также равноудалена от точек $A$ и $C$, то этот серединный перпендикуляр проходит через точку $O$. 

Теорема доказана.

Рис. 3. К примеру 1

Рассмотрим равносторонний треугольник $A B C$, периметр которого равен $27 \sqrt{3} \text{см}$, следовательно, длина стороны этого треугольника $9 \sqrt{3} \text{см}$. Центр окружности, описанной около треугольника это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, для равностороннего треугольника это точка пересечения высот и медиан, точка $O$ (рис. 3).Найдем длину отрезка $O C$ – радиуса описанной окружности.

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $A C D$ найдем длину медианы $C D$: 

$A C = 9 \sqrt{3} \text{см}$, $A D = \frac{9 \sqrt{3}}{2} \text{см}$, $C D = \sqrt{\left(9 \sqrt{3}\right)^{2} - \left(\frac{9 \sqrt{3}}{2}\right)^{2}} = 13,5 \text{см}$.

 По свойству медиан треугольника, точка $O$ делит отрезок $C D$ в отношении 2:1 считая от вершины, следовательно 

$O C = \frac{2}{3} C D = \frac{2}{3} \cdot 13,5 \text{см} = 9 \text{см}$.

Ответ: 9 см.

Рис. 4. Четырехугольник ABCD вписан в окружность

Четырехугольник $A B C D$ называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. 

Четырехугольник на рис. 4 является вписанным в окружность. Иначе говорят, что окружность описана около четырехугольника. Как мы доказали ранее, около любого треугольника можно описать окружность. Для четырехугольника это можно сделать не всегда. Докажем свойство и признак вписанного четырехугольника.

Рис. 5. К доказательству признака вписанного четырехугольника

Докажем признак вписанного четырехугольника.

Пусть в четырехугольнике $A B C D$ $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$. Опишем окружность около треугольника $A B C$ и докажем от противного, что вершина $D$ не может лежать ни внутри этой окружности, ни вне ее. Пусть точка $D$ лежит внутри окружности, а точка $M$ — точка пересечения луча $A D$ с дугой $A C$ (рис. 5). Тогда четырехугольник $A B C M$- вписанный. По условию $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$, а по только что доказанному свойству вписанного четырехугольника $\angle B + \angle M = 180^{\circ}$, т. е. $\angle D = \angle M$. Но угол $D$ четырехугольника $A B C D$ — внешний угол треугольника $A D M$, и по теореме о внешнем угле треугольника он должен быть больше угла $M$. Итак, мы пришли к противоречию, т. е. точка $D$ не может лежать внутри окружности. Аналогично можно доказать, что точка $D$ не может лежать вне окружности (сделайте это самостоятельно). Тогда точка $D$ лежит на окружности, т. е. около четырехугольника $A B C D$ можно описать окружность. 

Теорема доказана.

Рис. 6. Окружность, описанная около параллелограмма ABCD

Рассмотрим параллелограмм $A B C D$, вписанный в окружность (рис. 6). Противоположные углы параллелограмма в сумме составляют 180° по свойству вписанного четырехугольника, а так как противоположные углы параллелограмма равны между собой по свойству параллелограмма, то все углы равны 90°, $A B C D$ – прямоугольник. 

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно точка пересечения диагоналей прямоугольника равноудалена от вершин прямоугольника. Таким образом, центр окружности, описанной около прямоугольника, – точка пересечений его диагоналей (рис. 6).

Рис. 7. Равнобедренная трапеция, вписанная в окружность

Действительно, если говорить о равнобедренной трапеции, то, во-первых, углы при основаниях равны, во-вторых, сумма углов при боковой стороне равна 180°, следовательно сумма противолежащих углов равна 180° (рис. 7).

Если трапеция вписана в окружность, то сумма противолежащих углов равна 180° и сумма углов при боковой стороне равна 180°, следовательно, углы при основаниях равны и трапеция равнобедренная.

Рис. 8. К примеру 2

Рассмотрим трапецию $A B C D$, которая вписана в окружность с центром в точке $O$, лежащей на большем основании $A D$, и радиусом $r$, $B C = r$ (рис. 8). Найдем площадь этой трапеции.

Трапеция $A B C D$ вписана в окружность, следовательно она равнобедренная, $A B = C D$. Углы $A O B$ и $C O D$ равны как центральные углы, опирающиеся на равные хорды. Треугольник $B C O$ равносторонний, $\angle B O C = 60^{\circ}$. Тогда $\angle A O B = \angle C O D = \frac{180^{\circ} - 60^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$, следовательно, треугольники $A B O$ и $C D O$ также равносторонние, $A B = C D = r$.

Проведем высоту $B H$. В прямоугольном треугольнике $A B H$ $\sin A = \frac{B H}{A B}$, $B H = A B \cdot \sin 60^{\circ} = \frac{r \sqrt{3}}{2}$.

Центр окружности лежит на стороне $A D$, тогда $A D$ – диаметр окружности, $A D = 2 r .$ 

$S_{A B C D} = \frac{A D + B C}{2} \cdot B H = \frac{2 r + r}{2} \cdot \frac{r \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3} r^{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{3 \sqrt{3} r^{2}}{4}$.