Конспект урока: Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности

Рис. 1. Расстояние от центра до прямой меньше радиуса

Рассмотрим взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения $h$ и $r$. Возможны три случая:

1) $h < r$. На прямой $m$ отложим отрезки $A E$ и $B E$ по разные стороны от точки $E$ длиной $\sqrt{r^{2} - h^{2}}$ (рис. 1). По теореме Пифагора 

$O A = \sqrt{O E^{2} + A E^{2}} = \sqrt{h^{2} + ( r^{2} - h^{2} )} = r$,

$O B = \sqrt{O E^{2} + B E^{2}} = \sqrt{h^{2} + ( r^{2} - h^{2} )} = r$.

Рис. 2. Расстояние от центра до прямой равно радиусу

Точки $A$ и $B$ лежат на окружности, т.е. являются общими точками для прямой $m$ и окружности. 

Докажем, что других общих точек прямая $m$ и окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$ не имеют. Допустим, что они имеют еще одну общую точку $C$. Тогда $O A = O C$, треугольник $A O C$ равнобедренный. Медиана $O D$ треугольника $A O C$, проведенная к основанию $A C$, является высотой этого треугольника, следовательно $O E \bot m$ и $O D \bot m$, точки $D$ и $E$ не совпадают, т.к. не совпадают точки $B$ и $C$. Тогда из точки $O$ к прямой $m$ проведено более одного перпендикуляра, что невозможно.

Рис. 3. Расстояние от центра до прямой больше радиуса

2) $h = r$. Тогда $O E = r$, следовательно точка $E$ лежит на окружности, значит является общей точкой прямой $m$ и окружности (рис. 2). Прямая $m$ и окружность не имеют других общих точек, поскольку для любой точки $H$ прямой $m$, отличной от точки $E$, $O H > O E = r$ (наклонная $O H$ больше перпендикуляра $O E$), точка $H$ не лежит на окружности.

3) $h > r$. В этом случае $O E > r$, поэтому для любой точки $M$ прямой $m$ $O M \geq O E > r$.  

(рис. 3). Следовательно, точка $M$ не лежит на окружности. 

Рис. 4. К решению примера 1

Поскольку боковая сторона $A B$ наименьшая, то углы $A$ и $B$ прямые (рис. 4). Отрезок $A B$ делится точкой  в отношении 2:3, следовательно 

$O A = 6 \text{см}$, $O B = 4 \text{см}$.

Расстояние от центра окружности до прямой $B C$ меньше радиуса, значит $B C$ секущая.

Расстояние от центра окружности до прямой $A D$ равно радиусу, значит $A D$ – касательная. Прямая $A B$ проходит через центр окружности, $A B$ – секущая.

Вычислим расстояние от точки $O$ до прямой $C D$, используя метод площадей.

$S_{A B C D} = \frac{B C + A D}{2} \cdot A B = 110 \text{см}^{2}$,

$S_{\Delta A O D} = \frac{1}{2} \cdot A O \cdot A D = 42 \text{см}^{2}$,

$S_{\Delta B O C} = \frac{1}{2} \cdot O B \cdot B C = 16 \text{см}^{2}$,

$S_{\Delta C O D} = S_{A B C D} - S_{\Delta A O D} - S_{\Delta B O C} = 52 \text{см}^{2}$.

$C E$ – высота трапеции, по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $C E D$ гипотенуза $C D = 2 \sqrt{34} \text{см}$. $S_{\Delta C O D} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot C D$, где $h$ - высота треугольника $C O D$, проведенная к стороне $C D$. Тогда $h = \frac{26 \sqrt{34}}{17} \text{см}$, что больше 6 см. Следовательно прямая $C D$ не пересекает окружность.

Ответ: $A B$ и $B C$ секущие, $A D$ касательная, $C D$ не пересекает окружность.

Рис. 5. Касательная к окружности

Общая точка касательной и окружности называется точкой касания. На рис. 5 прямая $a$ является касательной к окружности с центром $O$. Иначе говоря, прямая  касается окружности с центром $O$ в точке $A$.

Определим взаимное расположение касательной и радиуса окружности, проведенного в точку касания.

Рис. 6. К доказательству свойства касательной к окружности

Пусть прямая $a$ касается окружности с центром $O$ в точке $A$ (рис. 6). Докажем, что $O A \bot a$. Применим метод доказательства от противного.

Пусть отрезок $O A$ не является перпендикуляром к прямой $a$. Тогда по теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой из точки $O$ можно провести перпендикуляр $O B$ к прямой $a$. 

На луче $A B$ от точки $B$ отложим отрезок $B C$, равный $A B$, и соединим точки $O$ и $C$. Поскольку по построению отрезок $O B$ — медиана и высота треугольника $A O C$, то этот треугольник равнобедренный с основанием $A C$, то есть $O A = O C$. Таким образом, расстояние между точками $O$ и $C$ равно радиусу окружности, и, по определению радиуса, точка $C$ должна лежать на данной окружности. Но это противоречит определению касательной, поскольку $A$ — единственная общая точка окружности с прямой $a$. Из этого противоречия следует, что наше предположение неверно, то есть $O A \bot a$.

Теорема доказана.

Рис. 7. Отрезки касательных, проведенных к окружности из точки A

Пусть $A B$ и $A C$ – отрезки касательных, проведенных к окружности с центром $O$ из точки $A$ (рис. 7). Рассмотрим треугольники $A O B$ и $A O C$. По свойству касательной к окружности $O B \bot A B$, $O C \bot A C$, то есть эти треугольники являются прямоугольными с общей гипотенузой $O A$ и равными катетами 
($O B = O C$ как радиусы окружности). Следовательно, $\Delta A O B = \Delta A O C$ по гипотенузе и катету, откуда $A B = A C$ , $\angle O A B = \angle O A C$. 

Теорема доказана.

Рис. 8. К доказательству признака касательной

Пусть прямая $a$ проходит через точку $A$, лежащую на окружности с центром $O$, причем $O A \bot a$. Докажем, что $a$ — касательная к окружности. Согласно определению касательной нам необходимо доказать, что окружность имеет с прямой $a$ единственную общую точку. Снова применим метод доказательства от противного. 

Пусть прямая $a$ имеет с окружностью общую точку $B$, отличную от $A$ (рис. 8). Тогда из определения окружности $O A = O B$ как радиусы, то есть треугольник $A O B$ равнобедренный с основанием $A B .$ По свойству углов равнобедренного треугольника $\angle O B A = \angle O A B = 90^{\circ}$, что противоречит теореме о сумме углов треугольника. 

Следовательно, точка $A$ — единственная общая точка окружности и прямой $a$, значит, прямая $a$ — касательная к окружности. 

Теорема доказана.

Рис. 9. К решению примера 2

Рассмотрим окружность с центром в точке $O$ радиуса $r$. Через точку $A$ окружности проведена касательная $a$ и хорда $A B = r \sqrt{3}$ (рис. 9). Найдем угол между касательной $a$ и хордой $A B$.

Треугольник $A O B$ равнобедренный ($O A = O B$ как радиусы), $O C$ – высота и медиана данного треугольника, $A C = \frac{r \sqrt{3}}{2}$. В прямоугольном треугольнике $O A C$ $\cos O A C = \frac{A C}{O A} = \frac{r \sqrt{3}}{2} : r = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно $\angle O A C = 30^{\circ}$. По свойству касательной угол между радиусом $O A$ и касательной $a$ равен $90^{\circ}$, тогда угол между касательной $a$ и хордой $A B$ равен $60^{\circ}$.

Ответ: $60^{\circ}$.