Конспект урока: Решение задач с помощью рациональных уравнений

Решение задач с помощью рациональных уравнений

Решение многих задач приводит к дробным рациональным уравнениям.

Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошел 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова скорость течения реки, если известно, что она больше 7 км/ч?                         

Решение
 

Пусть x км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость теплохода по течению $( 18 + x )$ км/ч, а против течения $( 18 - x )$ км/ч.

По течению реки 50 км лодка прошла за $\frac{50}{18 + x}$ ч, а против течения 8 км — 

за $\frac{8}{18 - x}$ ч. Значит, все время, затраченное на весь путь равно $( \frac{50}{18 + x} + \frac{8}{18 - x} )$ ч.

По условию задачи на весь путь теплоход затратил 3 ч. Следовательно, 

$\frac{50}{18 + x} + \frac{8}{18 - x} = 3$.
 

Краткую запись к данной задаче можно оформить в виде таблицы:

Решим уравнение: 

$50 ( 18 - x ) + 8 ( 18 + x ) = 3 ( 324 - x^{2} ) ,$

$900 - 50 x + 144 + 8 x = 972 - 3 x^{2} ,$

$3 x^{2} - 42 x + 72 = 0 ,$

$x^{2} - 14 x + 24 = 0 ,$

$D = 14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100 , D > 0$.

$x_{1,2} = \frac{14 \pm \sqrt{100}}{2}$;

$x_{1,2} = \frac{14 \pm 10}{2}$;

$x_{1} = 2$; $x_{2} = 12$.

По условию задачи  скорость течения реки больше 7 км/ч, тогда из найденных корней уравнения подходит 12.

Ответ: 12 км/ч.

В сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, добавили 100 г золота. В результате содержание золота в сплаве увеличилось на 20 %. Сколько граммов серебра в сплаве? 

Решение
 

Пусть $x$ г серебра было в сплаве изначально и масса сплава была $x + 80$ г, а процентное содержание золота было $\frac{80}{x + 80} \cdot 100$%. Масса нового сплава равна $x + 180$г. А процентное содержание золота $\frac{180}{x + 180} \cdot 100$%. 

Составим уравнение:

 

$\frac{180}{x + 180} \cdot 100 \% - \frac{80}{x + 80} \cdot 100 \% = 20 \% ,$

$\frac{180}{x + 180} - \frac{80}{x + 80} = 0,2 ,$

$\frac{180 \cdot 5}{x + 180} - \frac{80 \cdot 5}{x + 80} = 1 ,$

$\frac{900}{x + 180} - \frac{400}{x + 80} = 1 ,$

$900 ( x + 80 ) - 400 ( x + 180 ) = ( x + 180 ) ( x + 80 ) ,$

$900 x + 72000 - 400 x - 72000 = x^{2} + 260 x + 14400 ,$

$x^{2} - 240 x + 14400 = 0 ,$

$D_{1} = 120^{2} - 14400 = 14400 - 14400 = 0 ,$

$x = 120$

Ответ: 120 г.

Два автомата должны были изготовить по 180 деталей. Первый автомат изготовлял в час на 2 детали больше, чем второй, и поэтому закончил работу 

на 3 ч раньше. Сколько деталей изготовлял в час каждый автомат?

Решение
 

Заполним таблицу, в которой p — производительность автоматов, t — время, A — объем работы, x деталей — изготавливает второй автомат за час.

По условию задачи первый автомат закончил работу на 3 часа раньше, составим и решим уравнение:
 

$\frac{180}{x} - \frac{180}{x + 2} = 3 ,$

$\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 2} = 1 ,$

$60 ( x + 2 ) - 60 x = x ( x + 2 ) ,$

$60 x + 120 - 60 x = x^{2} + 2 x ,$

$x^{2} + 2 x - 120 = 0 ,$

$D_{1} = 1^{2} + 120 = 121 , D > 0 .$

$x_{1,2} = - 1 \pm \sqrt{121}$;

$x_{1,2} = - 1 \pm 11$;

$x_{1} = - 12$; $x_{2} = 10$.

Отрицательный корень не удовлетворяет условию задачи, т.к. количество деталей — число положительное, поэтому производительность второго автомата 10 дет/ч. Тогда производительность первого автомата 12 дет/ч.

Ответ: 12 дет/ч, 10 дет/ч.

1. Катер на путь длиной 72 км по течению реки и на такой же путь обратно затратил 7 ч 30 мин. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 4 км/ч.

2. В сплав меди и цинка, содержащий 5 кг цинка, добавили 15 кг цинка, после чего содержание цинка в сплаве повысилось на 30 %. Какова первоначальная масса сплава, если известно, что в нем меди было больше, чем цинка?

3. Чтобы вспахать поле, первому трактористу требуется на 4 дня меньше, чем второму. Если сначала 7 дней будет работать первый тракторист, а затем к нему присоединится второй, то через 5 дней совместной работы они закончат вспашку поля. За какое время может вспахать это поле каждый тракторист, работая отдельно. 

Какие основные типы задач вы знаете?