- Теорема о сумме углов треугольника
- Внешний угол треугольника
- Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники
- Знать теорему о сумме углов треугольника
- Знать определение и свойство внешнего угла
- Знать виды треугольников
- Уметь применять теорему о сумме углов треугольника, определение и свойство внешнего угла при решении задач
- Назовите элементы треугольника.
- Перечислите виды углов (по градусной мере).
- Постарайтесь начертить треугольник, у которого два прямых угла, два тупых угла. Проблема!
Теорема о сумме углов треугольника
Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$.
Доказательство
Рис. 1. Теорема о сумме углов треугольника
Рассмотрим треугольник $A B C$. Надо доказать, что $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
- Проведём прямую $B K$, параллельную стороне $A C$.
- $\angle 1 = \angle 4$ как накрест лежащие углы при пересечении прямых $B K$ и $A C$ секущей $A B .$
- $\angle 3 = \angle 5$ как накрест лежащие углы при пересечении прямых $B K$ и $A C$ секущей $B C .$
- $\angle 4 + \angle 2 + \angle 5 = \angle M B K$ и так как это развёрнутый угол, то $\angle 4 + \angle 2 + \angle 5 = 180^{\circ}$.
Получили, что $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ}$ или $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
Теорема доказана.
Внешний угол треугольника
Внешний угол треугольника - это угол, смежный с одним из углов треугольника.
Рис. 2а. Внешний угол треугольника
Рассмотрим треугольник $A B C$. Продолжим сторону $A C$ за точку $C$, получим угол $B C D$ – смежный с углом $B C A$. $\angle B C D$ - внешний угол треугольника $A B C$
(рис. 2а).
Рис. 2б. Внешний угол треугольника
Можно продолжить сторону $B C$, получим угол
$A C E$ – смежный с углом $A C B$. $\angle A C E$ – внешний угол треугольника $A B C$ (рис. 2б).
Рис. 2в.
Внешние углы треугольника при одной и той же вершине равны (рис. 2в). Объясните, почему.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
Доказательство
Рис. 3.
Рассмотрим треугольник $A B C$. $\angle B C D$ - внешний угол треугольника $A B C$ (рис. 3).
Докажем, что $\angle B C D = \angle 1 + \angle 2$.
$\angle B C D + \angle 3 = 180^{\circ}$, т. к. $\angle B C D$ и $\angle 3$ смежные, отсюда $\angle 3 = \angle 180^{\circ} - \angle B C D$.
$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ}$ по теореме о сумме углов треугольника.
Значит, $\angle B C D = \angle 1 + \angle 2$.
Пример 1
Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен $110^{\circ}$. Найдите углы этого треугольника.
Решение
Рис. 4. Пример 1
Рассмотрим треугольник $M A K$, $M K$ - основание.
1 случай.
Пусть данный в условии внешний угол находится при вершине основания: $\angle A K T = 110^{\circ}$ (рис. 4).
$\angle A K M = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$, т. к. $\angle A K T$ и $\angle A K M$ - смежные. $\angle A M K = \angle A K M$ как углы при основании равнобедренного треугольника, тогда $\angle A M K = 70^{\circ}$.
Сумма углов треугольника $180^{\circ}$, значит, $\angle M A K = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 70^{\circ} = 40^{\circ}$.
Рис. 5. Пример 1
2 случай.
Пусть данный в условии внешний угол находится при вершине, лежащей против основания: $\angle N A K = 110^{\circ}$ (рис. 5).
$\angle M A K = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$, т. к. $\angle N A K$ и
$\angle M A K$ - смежные. $\angle A M K = \angle A K M$ как углы при основании равнобедренного треугольника.
Сумма углов треугольника $180^{\circ}$, значит, $\angle A K M = \angle A M K = ( 180^{\circ} - 70^{\circ} ) : 2 = 55^{\circ}$.
Ответ:
- $70^{\circ} , 70^{\circ} , 40^{\circ}$;
- $55^{\circ} , 55^{\circ} , 70^{\circ}$.
Упражнение 1
- В треугольнике $C O K$ проведена биссектриса $O A$, $\angle O C K = 54^{\circ}$, $\angle C A O = 72^{\circ}$. Найдите $\angle O K C$.
- $\angle O M K$ - внешний угол для треугольника $D O M$, у которого $O D = O M$. $\angle O M K = 100^{\circ}$. Найдите $\angle O D M$.
- $B P$ - высота равнобедренного треугольника $A B C$ с основанием $B C$, $\angle B A C = 52^{\circ}$. Найдите $\angle P B C$.
Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники
Если в треугольнике один из углов прямой или тупой, то сумма двух других углов в треугольнике не превосходит $90^{\circ}$, т. е. каждый из них будет острым. Значит, в треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий или тупой, или прямой.
Рис. 6. Остроугольный треугольник
Если в треугольнике все углы острые, то такой треугольник называется остроугольным
(рис. 6).
Рис. 7. Прямоугольный треугольник
Если в треугольнике один из углов прямой, то такой треугольник называется прямоугольным (рис. 7).
Рис. 8. Тупоугольный треугольник
Если в треугольнике один из углов тупой, то такой треугольник называется тупоугольным (рис. 8).
Рис. 9. Прямоугольный треугольник ABC
Прямоугольный треугольник в геометрии занимает особое место. Стороны прямоугольного треугольника имеют свои названия. Сторона, которая лежит против прямого угла, называется гипотенузой. Стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами.
На рисунке 9 $A B$ - гипотенуза, $A C$, $C B$ – катеты прямоугольного треугольника $A B C$.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника.
2. Что такое внешний угол треугольника?
3. В чём заключается свойство внешнего угла треугольника?
4. Почему в треугольнике не может быть один острый угол?
5. Какой треугольник называется остроугольным? Прямоугольным? Тупоугольным?
6. Как называются стороны прямоугольного треугольника?
Упражнение 1
- $18^{\circ}$.
- $80^{\circ}$.
- $26^{\circ}$.