- Равнобедренный треугольник;
- Свойства равнобедренного треугольника.
- Знать определение равнобедренного треугольника и названия его элементов;
- Знать определение равностороннего треугольника;
- Знать свойства равнобедренного треугольника;
- Уметь применять определение и свойства равнобедренного треугольника при решении задач.
- Вспомните определение треугольника, назовите его элементы.
- Что такое медиана треугольника?
- Что такое биссектриса треугольника?
- Что такое высота треугольника?
Равнобедренный треугольник
Рис. 1. Треугольник LEV - равнобедренный
Равные стороны называются боковыми сторонами.
Рис. 2. Треугольник OSA - равносторонний
Третья сторона - основанием равнобедренного треугольника.
Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все стороны равны.
Пример 1
Рис. 3. Пример 1
Периметр треугольника $A K C$ равен 30 см, периметр треугольника $A B C$ в 1,5 раза больше (рис. 3). Найти длину $A B$.
Решение
- $\Delta A K C$ - равносторонний, $A K = K C = A C = 30 : 3 = 10$ (см).
- 30 см · 1,5 = 45 см - периметр треугольника $A B C$.
- $\Delta A B C$ - равнобедренный, $A B = B C$, $A C = 10$ см. $A B = ( 45 - 10 ) : 2 = 17,5$ см.
Ответ: $17,5$ см.
Упражнение 1
- Начертите равнобедренный треугольник так, чтобы все углы были острые.
- Начертите равнобедренный треугольник так, чтобы один из его углов был прямым.
- Начертите равнобедренный треугольник так, чтобы один из его углов был тупым.
Свойства равнобедренного треугольника
Теорема
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство
Рис. 4.
Рассмотрим треугольник $A B C$ – равнобедренный, $A B = B C$ (рис. 4). Надо доказать, что $\angle A = \angle C$. Проведём в треугольнике $A B C$ биссектрису $B K$.
1) Рассмотрим $\Delta A B K$ и $\Delta C B K$:
$A B = B C$ - по условию,
$\angle 1 = \angle 2$, т. к. $B K$ - биссектриса,
$B K$ - общая сторона.
Тогда $\Delta A B K = \Delta C B K$ по двум сторонам и углу между ними.
2) Треугольники равны, значит, соответствующие элементы равны, т.е. $\angle A = \angle C$.
Теорема доказана.
Теорема
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
Доказательство
Рис. 5.
Рассмотрим треугольник $A B C$ – равнобедренный, $A B = B C$, $B K$ - биссектриса (рис. 5). Надо доказать, что $B K$ является медианой и высотой.
1) Рассмотрим $\Delta A B K$ и $\Delta C B K$:
$A B = B C$ - по условию,
$\angle 1 = \angle 2$, т. к. $B K$ - биссектриса,
$B K$ - общая сторона.
Тогда $\Delta A B C = \Delta C B K$ по двум сторонам и углу между ними.
2) $A K = C K$ – соответственные элементы в равных треугольниках, т. е. точка $K$ – середина $A C$, значит, $B K$ – медиана равнобедренного треугольника.
3) $\angle A K B = \angle C K B$ - соответственные элементы в равных треугольниках. $\angle A K B + \angle C K B = 180^{\circ}$, т. к. это смежные углы, тогда $\angle A K B = \angle C K B = 90^{\circ}$, значит, $B K \bot A C$, т.е. $B K$ – высота равнобедренного треугольника.
Теорема доказана.
Так как биссектриса, высота и медиана, проведённые к основанию, совпадают, то будут верными утверждения:
- В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.
- В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.
Пример 2
Треугольник $T O M$ - равнобедренный, $T O = O M$. На высоте $O H$ взята точка $K$. Докажите, что треугольник $T K M$ - равнобедренный.
Решение
Рис. 6. Пример 2
1) Рассмотрим треугольник $T O M$ (рис. 6). Высота $O H$ проведена к основанию, значит, $O H$ – медиана, т. е. $T H = H M$.
2) Рассмотрим $\Delta T K H$ и $\Delta M K H$:
$T H = H M$, $K H$ - общая,
$\angle T H K = \angle M H K = 90^{\circ}$ т. к. $O H$ - высота.
Тогда $\Delta T K H$ и $\Delta M K H$ равны по двум сторонам и углу между ними.
3) $T K = K M$ как соответственные стороны в равных треугольниках, значит, $\Delta T K M$ – равнобедренный.
Что и требовалось доказать.
Упражнение 2
Рис. 7. Упражнение 2
1) Треугольники $K O T$ и $K I T$ - равнобедренные, основание $K T$ - общее (рис. 7). Докажите, что $\angle O K I = \angle O T I$.
2) $K H$ - высота равнобедренного треугольника $B U K$ с основанием $B U$.
Точка $D$ лежит на $K H$. Докажите, что $\Delta D U B$ - равнобедренный.
3) Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны.
Контрольные вопросы
- Какой треугольник называется равнобедренным?
- Как называются стороны равнобедренного треугольника?
- Какой треугольник называется равносторонним?
- Назовите свойство равнобедренного треугольника об углах при его основании.
- Назовите свойство равнобедренного треугольника о биссектрисе, проведенной к основанию.
Упражнение 1
- Прямой угол должен лежать против основания.
- Тупой угол должен лежать против основания.
Упражнение 2
- Указание: представьте каждый из углов $O K I$ и $O T I$ в виде суммы углов.
- Указание: докажите равенство треугольников $K B H$ и $K U H$, $D B H$ и $D U H$.
