- Свойство острых углов прямоугольного треугольника;
- Свойства прямоугольного треугольника, имеющего угол в $30^{\circ}$.
- Знать свойства прямоугольного треугольника;
- Уметь применять свойства прямоугольного треугольника при решении задач.
- Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника.
- Какой треугольник называется прямоугольным?
- Как называются стороны прямоугольного треугольника?
Свойство острых углов прямоугольного треугольника
Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$.
Доказательство
Рис. 1. Свойство острых углов прямоугольного треугольника
Рассмотрим прямоугольный треугольник $A B C$ (рис. 1).
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$, $\angle C = 90^{\circ}$, значит, $\angle A + \angle B = 90^{\circ}.$
Что и требовалось доказать.
Пример 1
В треугольнике $M A K$ угол $M$ - прямой, $\angle A : \angle K = 2 : 7$.
Найдите $\angle A$ и $\angle K$.
Решение
Рассмотрим прямоугольный треугольник $M A K$. Пусть $x^\circ$ - одна часть, тогда $\angle A=(2x)^\circ$, $\angle K=(7x)^\circ$. По свойству прямоугольного треугольника $\angle A + \angle K = 90^{\circ}$.
$2 x + 7 x = 90$,
$9 x = 90$,
$x = 10$.
$10^{\circ}$ - одна часть.
$\angle A = 10^{\circ} \cdot 2 = 20^{\circ}$,
$\angle K = 10^{\circ} \cdot 7 = 70^{\circ}$.
Ответ: $20^{\circ} , 70^{\circ}$.
Свойства прямоугольного треугольника, имеющего угол в $30^{\circ}$
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в
$30^{\circ}$, равен половине гипотенузы.
Доказательство
Рис. 2. Свойство прямоугольного треугольника, имеющего угол в 30 градусов
Рассмотрим прямоугольный треугольник $A B C$ (рис. 2), в котором $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 30^{\circ}$. Тогда по теореме о сумме углов в треугольнике $\angle B = 60^{\circ}.$ Надо доказать, что $B C = \frac{1}{2} A B$.
Приложим к треугольнику $A B C$ равный ему треугольник $A C K$ так, чтобы получился треугольник $A K B$, у которого все углы по $60^{\circ}$. Получили, что треугольник $A K B$ - равносторонний, т.е. $A K = K B = A B$.
$B C = \frac{1}{2} B K$, а значит, $B C = \frac{1}{2} A B$.
Что и требовалось доказать.
Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен $30^{\circ}$.
Доказательство
Рис. 3
Рассмотрим прямоугольный треугольник $A B C$ (рис. 3), в котором $\angle C = 90^{\circ}$, $B C = \frac{1}{2} A B$. Надо доказать, что
$\angle B A C = 30^{\circ}$.
Приложим к треугольнику $A B C$ равный ему треугольник $A C K$ так, чтобы получился треугольник $A K B$, у которого все стороны равны, тогда и все углы треугольника $A K B$ равны, каждый угол равен $60^{\circ}$.
$\angle B A K = 2 \angle B A C$, значит, $\angle B A C = \frac{1}{2} \angle B A K = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
Что и требовалось доказать.
Пример 2
В треугольнике $A B C$ $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle B = 60^{\circ}$, $AB=20\text{ cм}$. Найдите длину $B C$.
Решение
Рассмотрим прямоугольный треугольник $A B C$, в котором $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle B = 60^{\circ} .$ По свойству прямоугольного треугольника $\angle A + \angle B = 90^{\circ}$, $\angle A = 30^{\circ}$.
Сторона $B C$ лежит против угла $A$, равного $30^{\circ}$, значит, по свойству прямоугольного треугольника, $B C = \frac{1}{2} A B$, $BC=10\text{ cм}$.
Ответ: 10 см.
Упражнение 1
- В прямоугольном треугольнике один их углов равен $60^{\circ}$, разность гипотенузы и меньшего катета равна 10 см. Найдите длину гипотенузы
Контрольные вопросы
1. Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?
2. Сформулируйте свойства прямоугольного треугольника, имеющего угол в $30^{\circ}$.
Упражнение 1
20 см.
