- Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника;
- Неравенство треугольника.
- Знать теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника и следствия из нее;
- Знать теорему о неравенстве треугольника и следствие из нее;
- Уметь применять теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника и о неравенстве треугольника при решении задач.
- Назовите виды треугольников (по углам);
- Назовите виды треугольников (по сторонам);
- Сформулируйте свойства равнобедренного треугольника;
- Как называются стороны прямоугольного треугольника.
Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника
Теорема 1
В треугольнике:
- против большей стороны лежит больший угол;
- обратно, против большего угла лежит большая сторона.
Доказательство
Рис. 1. Теорема 1
Рассмотрим треугольник $A B C$, пусть $A B > A C$. Надо доказать, что $\angle C > \angle B$ (рис. 1).
- Отложим на стороне $A B$ отрезок $A K$, равный $A C$, т.к. $A K < A B$, точка $K$ лежит между точками $A$ и $B$.
- $\angle 1$ - это часть $\angle C$, значит, $\angle C > \angle 1 .$
- $\angle 1 = \angle 2$, т. к. $\Delta A K C$ равнобедренный;
- $\angle 2$ - внешний угол треугольника $K B C$, значит, $\angle 2 > \angle B .$
Получили: $\angle C > \angle 1 , \angle 1 = \angle 2 , \angle 2 > \angle B ,$ т. е. $\angle C > \angle B .$
Докажем обратное утверждение.
Пусть $\angle C > \angle B$, надо доказать, что $A B > A C$. Применим метод «от противного»:
- Предположим, что $A B$ не больше $A C$, т. е. $A B = A C$ или
$A B < A C$. - Если $A B = A C$, то $\Delta A B C$ - равнобедренный и $\angle C = \angle B$, что противоречит условию.
- Если $A B < A C$, а против большей стороны лежит больший угол, то $\angle C < \angle B$, что противоречит условию.
Наше предположение неверно, значит, $A B > A C$.
Теорема доказана.
Следствие 1
В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Следствие 2 (признак равнобедренного треугольника)
Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
Действительно, если два угла треугольника равны, то стороны, лежащие против этих углов, тоже равны, что по определению равнобедренного треугольника и означает, что он будет равнобедренным.
Пример 1
$M A$ - биссектриса треугольника $T M K$. Какой отрезок больше: $M K$ или $A K$?
Решение
Рис. 2. Пример 1
Рассмотрим треугольник $M A K$ (рис. 2).
$M K$ лежит против угла $M A K$, $A K$ лежит против угла $K M A$.
Сравним $\angle M A K$ и $\angle K M A$.
$\angle M A K$ - внешний угол для треугольника $T M A$, значит, $\angle M A K = \angle M T A + \angle T M A$, но $\angle T M A = \angle K M A$, т. к. $M A$ - биссектриса, тогда $\angle M A K = \angle M T A + \angle K M A$, $\angle M A K > \angle K M A$, значит, $M K > A K$.
Ответ: $M K$.
Упражнение 1
- Докажите следствие 1 из теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника.
- Докажите следствие 2 из теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника. При доказательстве следствия 2 используйте метод «от противного».
- В треугольнике $K T M$ угол $T$ - тупой. На стороне $K T$ отмечена точка $P$. Докажите, что $M K > M P$.
Неравенство треугольника
Теорема 2
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Доказательство
Рис. 3. Теорема 2
Дан треугольник $A B C$. Надо доказать, что $A B < A C + C B$ (рис. 3).
- Отложим на продолжении стороны $A C$ отрезок $C M$, равный $C B$, получим равнобедренный треугольник, значит, $\angle 1 = \angle 2$ как углы при его основании.
- Рассмотрим треугольник $A B M$. $\angle A B M > \angle 1$, поэтому, $\angle A B M > \angle 2$ и $A M > A B$ (в треугольнике против большего угла лежит большая сторона). $A M = A C + C M = A C + B C$, т. к. $A B < A M$ (см. п. 2), значит, $A B < A C + B C$.
Теорема доказана.
Следствие
Для любых трёх точек $A$, $B$ и $C$, не лежащих на одной прямой, будут справедливы неравенства:
$A B < A C + C B , A C < A B + B C , B C < B A + A C$
Каждое из этих неравенств называется неравенством треугольника.
Пример 2
Существует ли треугольник со сторонами $12\:с\text{м},2,5\:\text{дм},$
$80\text{ мм}$? Ответ поясните.
Решение
- Выразим $2,5\text{ дм},80\text{ мм}$ в одних единицах измерения: $2,5\text{ дм}=25\text{ см},80\text{ мм}=8\text{ см}$.
- $25\text{ см}>12\text{ см}+8\text{ см}$, что противоречит неравенству треугольника.
Ответ: такой треугольник не существует.
Упражнение 2
- Стороны равнобедренного треугольника равны $8\text{ см}$ и $20\text{ см}$. Какая из них является основанием?
- Точка $A$ лежит на стороне $S K$ треугольника $S O K$, $O A = A K$. Докажите, что $S O < S K$.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника.
2. Какая сторона в прямоугольном треугольнике наибольшая?
3. Сформулируйте признак равнобедренного треугольника.
4. Сформулируйте теорему о неравенстве треугольника.
Упражнение 2
1. $8\text{ см}$.
2.
Рис. 4. Упражнение 2. Ответ
1) Рассмотрим треугольник $S O K$ (рис. 4).
$S K = S A + A K = S A + A O .$
2) Рассмотрим треугольник $O S A$.
$S O < S A + A O$ (неравенство треугольника), $S O < S K$.