- Перпендикуляр к прямой
- Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
- Знать определение перпендикуляра к прямой, теорему о единственности перпендикуляра к прямой
- Знать определения медианы, биссектрисы и высоты треугольника, их свойства
- Уметь строить медианы, биссектрисы и высоты треугольника
- Какие прямые называются перпендикулярными?
- Две прямые, перпендикулярные к третьей, … (продолжите утверждение)
- Назовите элементы треугольника
Рис. 1. Отрезок МН – перпендикуляр к прямой m
Перпендикуляр к прямой
Проведём через точку $M$, не лежащую на прямой $m$, прямую $c$, перпендикулярную прямой $m$. Прямые $m$ и $c$ пересекаются в точке $H$.
Отрезок $M H$ называется перпендикуляром, проведённым из точки $M$ к прямой $m$, если прямые $M H$ и $m$ перпендикулярны.
Точка $H$ называется основанием перпендикуляра.
Теорема
Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
Доказательство
Рис. 2.
Проведём прямую $a$ и отметим точку $A$, $A \notin a$ (рис. 2). Надо доказать, что существует $A H \bot a$, и притом единственный.
1) Отметим на прямой $a$ точки $O$ и $B$ и отложим от луча $O B$ угол $B O C$, равный углу $B O A$. Если $\angle B O A = \angle B O C$, то они при наложении совместятся, при этом точка $A$ совместится с точкой $A_{1}$.
Прямые $A A_{1}$ и $a$ пересекаются в точке $H$. Рассмотрим $\Delta A O H$ и
$\Delta C O H$:
$\angle A O H = \angle C O H$, $A O = O A_{1}$, $O H$ – общая, тогда $\Delta A O H = \Delta C O H$ по двум сторонам и углу между ними.
Треугольники равны, значит соответствующие элементы равны, т. е. $\angle 1 = \angle 2$.
$\angle 1$ и $\angle 2$ - смежные, по свойству смежных углов $\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$, отсюда $\angle 1 = \angle 2 = 180^{\circ} : 2 = 90^{\circ}$, т. е. $A H \bot a$.
2) Предположим, что можно провести ещё один перпендикуляр из точки $A$ к прямой $a$: $A H \bot a$ и $A H_{1} \bot a$, т. е. $A H$ и $A H_{1}$ пересекаются в точке $A$ - получили противоречие (две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются). Тогда перпендикуляр $A H$ - единственный.
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Рис. 3. АМ – медиана треугольника ABC
Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
В любом треугольнике можно провести три медианы. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке (замечательное свойство медиан треугольника).
1 – биссектриса треугольника ABC" loading="lazy" />
Рис. 4. AA1 – биссектриса треугольника ABC
В любом треугольнике можно провести три биссектрисы. Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (замечательное свойство биссектрис треугольника).
1 – высота треугольника ABC" loading="lazy" />
Рис. 5. АН1 – высота треугольника ABC
В любом треугольнике можно провести три высоты. Все высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (замечательное свойство высот треугольника).
Упражнение 1
- Начертите треугольник и проведите три медианы. Середины сторон отмечайте с помощью линейки.
- Начертите треугольник и проведите три биссектрисы треугольника. Биссектрисы углов проводите с помощью транспортира.
- Начертите треугольник, у которого все углы острые, и проведите три высоты (с помощью чертёжного угольника).
- Начертите треугольник, у которого один угол прямой, и проведите высоты. Назовите точку пересечения высот.
- Начертите треугольник, у которого один угол тупой, и проведите три высоты.
Контрольные вопросы
1. Объясните, что такое перпендикуляр, проведённый из данной точки к данной прямой.
2. Прочитайте наизусть теорему о перпендикуляре.
3. Что такое медиана треугольника?
4. В чём заключается замечательное свойство медиан треугольника?
5. Что такое биссектриса треугольника?
6. В чём заключается замечательное свойство биссектрис треугольника?
7. Что такое высота треугольника?
8. В чём заключается замечательное свойство высот треугольника?
