- Третий признак равенства треугольников
- Жёсткость треугольника
- Знать третий признак равенства треугольников
- Уметь применять его при решении задач
- Какие треугольники называются равными?
- Что важно знать про элементы в равных треугольниках?
- Сформулируйте первый признак равенства треугольников
- Сформулируйте второй признак равенства треугольников
Третий признак равенства треугольников
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство
Рис. 1. Треугольник АВС и треугольник РМК
Рассмотрим треугольники $A B C$ и $P M K$, у которых $A B = P M ,$ $A C = P K$, $B C = M K$ (рис. 1).
Надо доказать, что $\Delta A B C = \Delta P M K$.
Приложим треугольник $A B C$ к треугольник $P M K$ так, чтобы вершина $A$ совместилась с вершиной $P$, а вершина $B$ - с вершиной $M$, вершины $C$ и $K$ должны лежать по разные стороны от прямой $A B$.
Возможны три случая расположения $C K$ и $\angle P K M$ (в зависимости от вида треугольников):
Докажем теорему для первого случая (рис. 2а).
Рис. 2а.
- $A C = P K$ - по условию, значит, треугольник $A C K$ - равнобедренный, тогда $\angle 1 = \angle 2$ как углы при основании равнобедренного треугольника.
- $B C = M K$ - по условию, значит, треугольник $M K C$ равнобедренный, тогда $\angle 3 = \angle 4$ как углы при основании равнобедренного треугольника.
- $\angle A C B = \angle 1 + \angle 3$, $\angle P K M = \angle 2 + \angle 4$, значит, $\angle A C B = \angle P K M$.
- Рассмотрим треугольники $P K M$ и $A C B$, у них $A C = P K$, $B C = M K$, $\angle A C B = \angle P K M$. Тогда $\Delta A B C = \Delta P K M$ по двум сторонам и углу между ними.
Второй и третий случаи докажите самостоятельно.
Пример 1
Рис. 5.
Докажите, что $\angle M K C = \angle M T C$ (рис. 5).
Решение
Рис. 5а.
- Проведём отрезок $C M$ (рис. 5а).
- Рассмотрим треугольники $M K C$ и $M T C$: $M K = M T$ - по условию, $K C = T C$ - по условию, $C M$ - общая.
- Тогда $\Delta M K C = \Delta M T C$ - по трём сторонам.
Отсюда следует, что $\angle M K C = \angle M T C$ как соответствующие элементы в равных треугольниках.
Что и требовалось доказать.
Жёсткость треугольника
Третий признак равенства треугольников объясняет важное для практики свойство треугольника - жёсткость треугольника. Упор при установке кронштейна, подпорка для вертикально стоящего столба образуют треугольную конструкцию.
Если стороны треугольника скреплены, то нельзя изменить ни один угол треугольника.
Упражнение 1
Рис. 6.
- На рисунке 6 $A B = C D$, $B C = A D$. Доказать, что $\Delta A B C = \Delta A D C .$
- Точки $D$ и $L$ расположены по разные стороны от прямой $O M$. Докажите, что $O M$ биссектриса угла $D O L$, если $O L = O D$, $L M = D M$.
Контрольные вопросы
- Сформулируйте третий признак равенства треугольников.
- Докажите этот признак.
- Какого условия будет достаточно, чтобы были равны равносторонние треугольники?
Упражнение 1
2. Указание: докажите равенство треугольников $D O M$ и $L O M$.
