- Пересечение множеств
- Объединение множеств
- Числовые промежутки
- Знать определения пересечения и объединения двух множеств
- Знать, что такое пустое множество
- Уметь находить пересечение и объединение двух множеств
- Знать обозначения числовых промежутков, их названия, их изображение на координатной прямой и неравенства, которые задают эти числовые промежутки
- Уметь изображать на координатной прямой числовые промежутки, заданные неравенствами или обозначением промежутка
- Уметь находить пересечение и объединение числовых промежутков
Пересечение и объединение множеств
Основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) определял множество как «объединение определённых, различных объектов, называемых элементами множества в единое целое».
Пусть множество A — множество натуральных делителей 18, B — множество натуральных делителей 24. Зададим множества A и B перечислением элементов:
$A = \left\{\right. 1,2 , 3,6 , 9,18 \left.\right\}$
$B = \left\{\right. 1,2 , 3,4 , 6,8 , 12,24 \left.\right\}$
Обозначим буквой C множество общих делителей чисел 18 и 24, т.е. общих элементов множеств A и B. Получим, что
$C = \left\{\right. 1,2 , 3,6 \left.\right\}$.
Тогда говорят, что множество C является пересечением множеств A и B, и обозначают: $A \cap B = C$.
Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.
Рис. 1. Геометрическая иллюстрация пересечения множеств
Соотношение между множествами A, B и C изображается с помощью кругов Эйлера (рис. 1).
Если множества X и Y не имеют общих элементов, то говорят, что их пересечение — пустое множество, которое обозначают знаком $\emptyset$. И записывают: $X \cap Y = \emptyset$.
Рис. 2. Геометрическая иллюстрация объединения множеств
Вернемся к примеру. Пусть множество D — множество делителей чисел 18 и 24.
Тогда получим
$D = \left\{\right. 1,2 , 3,4 , 6,8 , 9,12,18,24 \left.\right\}$.
Про множество D говорят, что оно является объединением множеств A и B, и обозначают: $A \cup B = D$.
На рисунке 2 с помощью кругов Эйлера изображено объединение множеств A и B (закрашенная фигура).
Упражнение 1
1. Пусть A — множество однозначных простых чисел, Y — множество однозначных натуральных чисел. Задайте путем перечисления множества их пересечения и объединения.
2. Пусть A — множество делителей числа 45, Y — множество делителей числа 14. Задайте путем перечисления элементов множества их пересечения и объединения.
Числовые промежутки
Пусть $a$ и $b$ — некоторые числа, причем $a < b$. Пусть $x$ — число больше $a$ и меньше $b ,$ т.е. $a < x < b$. Тогда число $x$ на координатной прямой изображается точкой между точками с координатами $a$ и $b$ (рис. 3). Верно и обратное: точке между точками с координатами $a$ и $b$, соответствует число $x$, для которого верно $a < x < b$.
Множество всех чисел, удовлетворяющих условию $a < x < b$, называют интервалом и обозначают так: ($a$; $b$) (читают: интервал от $a$ до $b$). На рисунке 4 это множество показано штриховкой, а светлые кружки с координатами $a$ и $b$ показывают, что числа $a$ и $b$ не принадлежат ($a$; $b$).
Множество всех чисел, удовлетворяющих условию $a \leq x \leq b$, называют отрезком и обозначают так: [$a$; $b$] (читают: отрезок от $a$ до $b$). На рисунке 5 это множество показано штриховкой, а закрашенные кружки с координатами $a$ и $b$ показывают, что числа $a$ и $b$ принадлежат отрезку.
Множества чисел $x$, для которых выполняются двойные неравенства $a < x \leq b$ и $a \leq x < b$, называют полуинтервалами и обозначают соответственно ($a$; $b$] и [$a$; $b$) (читают: полуинтервал от $a$ до $b$, включая $b$; полуинтервал от $a$ до $b$, включая $a$). Эти полуинтервалы изображены на рисунках 6 и 7.
Числовые отрезки, интервалы и полуинтервалы называют числовыми промежутками.
Существуют и другие числовые промежутки. Обозначения числовых промежутков, их названия и изображение на координатной прямой показаны в таблице.
Таблица 1. Числовые промежутки
Множество действительных чисел изображается всей координатной прямой. Его называют числовой прямой и обозначают $( - \infty ; + \infty )$.
Выясним, какое множество является пересечением и какое объединением некоторых числовых промежутков.
Пример 1
Найдите пересечение и объединение числовых промежутков:
а) $[ - 1 ; 4 \left]\right. \text{и} [ 1 ; 5 \left]\right.$ (рис. 8); б) $( - 2 ; + \infty ) \text{и} [ 1 ; + \infty )$ (рис. 9).
Решение
а) $[ - 1 ; 4 \left]\right. \cap [ 1 ; 5 \left]\right. = [ 1 ; 4 \left]\right.$;
$[ - 1 ; 4 \left]\right. \cup [ 1 ; 5 \left]\right. = [ - 1 ; 5 \left]\right.$.
б) $( - 2 ; + \infty ) \cap [ 1 ; + \infty ) = [ 1 ; + \infty )$;
$( - 2 ; + \infty ) \cup [ 1 ; + \infty ) = ( - 2 ; + \infty )$.
Ответ: а) $[ 1 ; 4 \left]\right.$, $[ - 1 ; 5 \left]\right.$;
б) $[ 1 ; + \infty )$, $( - 2 ; + \infty )$.
В некоторых случаях числовые промежутки не имеют общих элементов, поэтому их пересечение является пустым множеством.
Например, $[ - 1 ; 1 \left]\right. \cap [ 4 ; 5 \left]\right. = \emptyset$(рис. 10). Объединение числовых промежутков не всегда является числовым промежутком. Например, $[ - 1 ; 1 \left]\right. \cup [ 4 ; 5 \left]\right.$ (рис. 10).
Упражнение 2
Найдите пересечение и объединение числовых промежутков:
а) $( - 2 ; 10 ) \text{и} ( 0 ; 15 )$; б) $( - \infty ; 2 ) \text{и} ( - 2 ; + \infty )$; в) $( - 3 ; 3 ) \text{и} ( - 6 ; 6 )$;
г) $( - \infty ; 5 ) \text{и} ( - \infty ; 10 )$
Контрольные вопросы
1. Что называется пересечением двух множеств? Объединением двух множеств?
2. Назовите числовые промежутки различного вида.
3. В каком случае пересечение промежутков является пустым множеством?
Упражнение 1
1. $A \cap Y = \left\{\right. 2,3 , 5,7 \left.\right\} , A \cup Y = \left\{\right. 1,2 , 3,4 , 5,6 , 7,8 , 9 \left.\right\}$
2. $A \cap Y = \left\{\right. 1 \left.\right\} , A \cup Y = \left\{\right. 1,2 , 3,5 , 7,9 , 14,15,45 \left.\right\}$
Упражнение 2
а) $( 0 ; 10 ) , ( - 2 ; 15 )$; б) $( - 2 ; 2 ) , ( - \infty ; + \infty )$; в) $( - 3 ; 3 ) , ( - 6 ; 6 )$;
г) $( - \infty ; 5 ) , ( - \infty ; 10 )$.
