- Решение систем неравенств с одной переменной
- Примеры решения систем неравенств с одной переменной
- Знать определение решения системы неравенств с одной переменной
- Уметь решать системы двух линейных неравенств с одной переменной, в том числе двойные неравенств
- Решите неравенство: а) $2 x + 3 < x + 4$; б) $\frac{x + 1}{5} < 2$.
Решение систем неравенств с одной переменной
Существуют задачи, в которых необходимо найти решение системы неравенств, т.е. множество чисел при которых два и более неравенства верны одновременно.
Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.
Решить систему неравенств — значит найти все её решения или доказать, что решений нет.
Если одно из неравенств системы не имеет решения, то и вся система не имеет решения.
Двойные неравенства равносильны системам неравенств. Так неравенство $- 4 < 2 x + 3 \leq 18$ равносильно системе неравенств
$\begin{cases} 2 x + 3 > - 4 , \\ 2 x + 3 \leq 18 . \end{cases}$
Далее находят множество решений каждого из неравенств, а решением системы будет пересечение этих множеств.
Примеры решения систем неравенств с одной переменной
Рассмотрим примеры решения систем неравенств.
Пример 1
Решить систему неравенств $\begin{cases} 5 x > 3 x + 1 , \\ 0,6 x < 5,2 - 2 x . \end{cases}$
Решение
Имеем
$\begin{cases} 2 x > 1 , \\ 2,6 x < 5,2 . \end{cases}$
Отсюда,
$\begin{cases} x > 0,5 , \\ x < 2 . \end{cases}$
Изобразим множества решений каждого из неравенств на координатной прямой (рис. 1). Тогда множеством решений этой системы неравенств является интервал $( 0,5 ; 2 )$.
Ответ: $( 0,5 ; 2 )$.
Пример 2
Решить систему неравенств $\begin{cases} 3 x > - 3 , \\ - 5 x < 10 . \end{cases}$
Решение
Имеем
$\begin{cases} x > - 1 , \\ x > - 2 . \end{cases}$
Изобразим множества решений каждого из неравенств на координатной прямой (рис. 2).
Тогда множеством решений этой системы неравенств является интервал $( - 1 ; + \infty )$.
Ответ: $( - 1 ; + \infty )$.
Пример 3
Решить систему неравенств $\begin{cases} 2 ( x + 3 ) - ( x - 8 ) < 4 , \\ 6 x > 3 ( x + 1 ) - 1 . \end{cases}$
Решение
Имеем
$\begin{cases} 2 x + 6 - x + 8 < 4 , \\ 6 x - 3 x > 3 - 1 . \end{cases}$
Отсюда
$\begin{cases} x < - 10 , \\ 3 x > 2 , \end{cases}$
$\begin{cases} x < - 10 , \\ x > \frac{2}{3} . \end{cases}$
Изобразим множества решений каждого из неравенств на координатной прямой (рис. 3).
Множества решений неравенств не имеют общих элементов, поэтому данная система не имеет решений.
Ответ: нет решений.
Пример 4
Решить двойное неравенство $- 4 < 2 x + 3 \leq 18$.
Решение
Двойное неравенство равносильно системе неравенств
$\begin{cases} 2 x + 3 > - 4 , \\ 2 x + 3 \leq 18 . \end{cases}$
Отсюда
$\begin{cases} x > - 3,5 , \\ x \leq 7,5 . \end{cases}$
Таким образом, неравенство $- 4 < 2 x + 3 \leq 18$ равносильно неравенству $- 3,5 < x \leq 7,5$. Множество решений этого неравенства полуинтервал $( - 3,5 ; 7,5 \left]\right.$.
Решение двойного неравенства удобнее записывать так:
$- 4 < 2 x + 3 \leq 18 ,$
$- 7 < 2 x \leq 15 ,$
$- 3,5 < x \leq 7,5$
Ответ: $( - 3,5 ; 7,5 \left]\right.$.
Упражнение 1
Решите неравенство:
а) $\begin{cases} 0,5 x < 2 , \\ - 3 x \geq - 9 ; \end{cases}$
б) $\begin{cases} 1,5 x > - 3 , \\ - 6 x > - 12 ; \end{cases}$
в) $\begin{cases} 6 x + 2 > 9 - x , \\ x + 8,3 < 11 ; \end{cases}$
г) $\begin{cases} - ( x - 2 ) - 3 ( x - 1 ) > 2 x , \\ 5 x + 4 > 12 - ( x - 3 ) . \end{cases}$
Упражнение 2
Решите двойное неравенство:
а) $- 4 < 22 + x < - 1$; б) $1 \leq 11 + 2 x \leq 13$;
в) $- 1 \leq 5 - 3 x \leq 1$; г) $- 4 \leq 2 x + 1 < 2$
Контрольные вопросы
1. Что называется решением системы неравенств с одной переменной?
2. Что значит решить систему неравенств?
3. В каких случаях система неравенств не имеет решения?
Упражнение 1
а) $( - \infty ; 3 \left]\right.$; б) $( - 2 ; 2 )$; в) $( 1 ; 2,7 )$; г) нет решений
Упражнение 2
а) $( - 26 ; - 23 )$; б) $[ - 5 ; 1 \left]\right.$; в) $[ 1 \frac{1}{3} ; 2 \left]\right.$; г) $[ - 2,5 ; 0,5 )$
