- Уравнение $x^{2} = a$
- Решение уравнений вида $x^{2} = a$
- Знать основные случаи при решении уравнения вида $x^{2} = a$
- Уметь решать уравнения вида $x^{2} = a$
Найдите значение выражения:
а)$\sqrt{16} ;$
б)$\frac{\sqrt{900}}{3}$;
в)$0,1 \sqrt{0,16} .$
Уравнение $\mathbf{\mathit{x}}^{2} = \mathbf{\mathit{a}}$
Рассмотрим уравнение $x^{2} = a$, где $a$ – произвольное число. При решении этого уравнения возможны три случая в зависимости от числа $a$.
1) Если $a < 0$, то уравнение корней не имеет, поскольку не существует числа, квадрат которого был бы равен отрицательному числу.
2) Если $a = 0$, то уравнение имеет единственный корень, равный нулю, т.к. существует единственное число $0$, квадрат которого равен нулю.
3) Если $a > 0$, то уравнение имеет два корня. Рассмотрим графическую модель этого уравнения (рис. 1). Прямая $y = a$ при $a > 0$ пересекает параболу $y = x^{2}$ в двух точках. Обозначим абсциссы точек пересечения $x_{1}$ и $x_{2}$. Тогда $\left(x_{1}\right)^{2} = a$, и $\left(x_{2}\right)^{2} = a$, значит, числа $x_{1}$ и $x_{2}$ – корни уравнения $x^{2} = a$. Т.к. $x_{2}$ есть положительное число, квадрат которого равен $a$, то $x_{2}$ является арифметическим квадратным корнем из $a$, т.е. $x_{2} = \sqrt{a}$ . Так как $x_{1}$ есть число, противоположное $x_{2} ,$ то $x_{1} = - \sqrt{a}$ .
Таким образом, можно сделать вывод:
Выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл при любом $a \geq 0$ .
Решение уравнений вида $x^{2} = a$
Рассмотрим решение нескольких уравнений вида $x^{2} = a$.
Пример 1
Решите уравнение:
a)$x^{2} = 64 ;$ б)$x^{2} = \frac{9}{25} ;$ в)$x^{2} = 5,76 ;$ г)$x^{2} = - 6 .$
Решение
а) $x^{2} = 64$ имеет корни $x_{1} = - \sqrt{64} = - 8 \text{и} x_{2} = \sqrt{64} = 8 .$
б) $x^{2} = \frac{9}{25}$ имеет корни $x_{1} = - \sqrt{\frac{9}{25}} = - \frac{3}{5} \text{и} x_{2} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
в) $x^{2} = 5,76$ имеет корни $x_{1} = - \sqrt{5,76} = - 2,4 \text{и} x_{2} = \sqrt{5,76} = 2,4$.
г) $x^{2} = - 6$ не имеет корней, т.к. правая часть отрицательна.
Ответ: а) –8; 8; б) $- \frac{3}{5} ; \frac{3}{5}$ ; в) –2,4; 2,4; г) нет корней.
Пример 2
Решите уравнение $x^{2} = 5 .$
Рис. 2. Графическая интерпретация уравнения $x^{2} = 5$
Решение
Графическая иллюстрация уравнения $x^{2} = 5$ на рисунке 2. Это уравнение имеет два корня $x_{1} = \sqrt{5 } \text{и} x_{2} = - \sqrt{5}$, но эти числа уже иррациональные, т.к. не существует рационального числа, квадрат которого равен $5$. С помощью графика можно определить приближенное значение этих корней: $x_{1} \approx 2,2 , x_{2} \approx - 2,2$.
Ответ: $- \sqrt{5} , \sqrt{5} .$
Упражнение 1
Решите уравнение:
а)$x^{2} = 25 ;$
б)$x^{2} = 0,36 ;$
в)$x^{2} = \frac{9}{49} ;$
г)$x^{2} = 3 ;$
д)$x^{2} = 12 ;$
е)$x^{2} - 0,1 = 0,06 ;$
ж)$30 + x^{2} = 31 ;$
з)$49 + y^{2} = 0 .$
Контрольные вопросы
1. Как с помощью графиков объяснить различные случаи при решении уравнения вида $x^{2} = a$?
2. Всегда ли у уравнения $x^{2} = a$ рациональные корни?
Упражнение 1
а) –5; 5; б) –0,6; 0,6; в) $- \frac{3}{7} ; \frac{3}{7}$; г) $- \sqrt{3} ; \sqrt{3}$; д) $- \sqrt{12} ; \sqrt{12}$ ; е) –0,4; 0,4; ж) –1; 1; з) нет корней.
