- Решение неравенств с одной переменной
- Примеры решения неравенств с одной переменной
- Знать определение решения неравенства с одной переменной
- Знать правила переходов от одного неравенства к другому, ему равносильному
- Знать определение линейного неравенства с одной переменной
- Уметь решать линейные неравенства с одной переменной
- Прочитайте неравенство и назовите соответствующий ему числовой промежуток: а) $x < - 3$; б) $x \geq 7$; в) $- 2 < x < 3$; г) $- 1 \leq x \leq 1$
Решение неравенств с одной переменной
Неравенство $2 x + 3 > 4$ обращается в верное числовое равенство только при некоторых значениях переменной. Например, при $x = 1$. Если же вместо $x$ подставить 0, то неравенство верным не будет. В таком случае говорят, что 1 является решением неравенства $2 x + 3 > 4$ или удовлетворяет этому неравенству. Заметим, что, например, числа 2, 10, 15 также являются решениями этого неравенства, а числа -3, 0,2 не являются.
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.
Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений нет.
Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными.
При решении неравенств используются следующие свойства:
1) Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.
2) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;
если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.
Примеры решения неравенств с одной переменной
Рассмотрим примеры решения неравенств.
Пример 1
Решить неравенство $6 + x < 3 - 2 x$.
Решение
Перенесём слагаемое $- 2 x$ из правой части неравенства с противоположным знаком в левую часть, а число 6 из левой части в правую с противоположным знаком:
$x + 2 x < 3 - 6$.
Приведем подобные слагаемые:
$3 x < - 3$.
Разделим обе части неравенства на положительное число 3:
$x < - 1$
Этому неравенству отвечает открытый числовой луч $( - \infty ; - 1 )$ (рис. 1).
Ответ: $( - \infty ; - 1 )$.
Пример 2
Решить неравенство $3 ( 2 + x ) < 4 - x$.
Решение
Раскроем скобки в левой части неравенства:
$6 + 3 x < 4 - x$.
Перенесём слагаемое $- x$ из правой части неравенства с противоположным знаком в левую часть, а число 6 из левой части в правую с противоположным знаком:
$3 x + x < 4 - 6$.
Приведем подобные слагаемые:
$4 x < - 2$.
Разделим обе части неравенства на положительное число 4:
$x < - 0,5$
Этому неравенству отвечает открытый числовой луч $( - \infty ; - 0,5 )$ (рис. 2).
Ответ: $( - \infty ; - 0,5 )$.
Пример 3
Решить неравенство $\frac{x - 1}{3} - 2 x < \frac{3 x + 1}{2}$.
Решение
Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство:
$\frac{6 ( x - 1 )}{3} - 12 x < \frac{6 ( 3 x + 1 )}{2} ,$
$2 x - 2 - 12 x < 9 x + 3 ,$
$2 x - 12 x - 9 x < 3 + 2$
Отсюда,
$- 19 x < 5 ,$
$x > - \frac{5}{19}$.
Получаем открытый луч $( - \frac{5}{19} ; + \infty )$.
Ответ: $( - \frac{5}{19} ; + \infty )$.
Неравенства вида $a x > b$ или $a x < b$, где a и b — некоторые числа, называют линейными неравенствами с одной переменной.
В некоторых случаях может случиться, мы придем к неравенству вида $0 \cdot x < b$ и $0 \cdot x > b$. Такие неравенства либо не имеют решения, либо их решением является любое число.
Например, неравенство $0 \cdot x < 12$, равносильное $0 < 12$, выполняется всегда, поэтому решением будет вся числовая прямая $( - \infty ; + \infty )$. Неравенство $0 \cdot x < - 3$, равносильно $0 < - 3$, не является верным, поэтому не имеет решения.
Упражнение 1
Решите неравенство:
а) $4 + 12 x > 7 + 13 x$;
б) $3 ( 1 - x ) + 2 ( 2 - 2 x ) < 0$;
в) $- ( 4 - x ) \leq 2 ( 3 + x )$;
г) $\frac{2 x}{5} - x > 3$; д) $x + \frac{x}{4} \geq 2$; e) $\frac{2 x}{3} - \frac{x - 1}{6} + \frac{x + 2}{2} \geq 0 .$
Контрольные вопросы
1. Что называется решением неравенства?
2. Всегда ли неравенство имеет решение?
3. Какие свойства используют при решении неравенств?
4. Какие неравенства называются линейными?
Упражнение 1
а) $( - \infty ; - 3 )$; б) $( 1 ; + \infty )$; в) $[ - 10 ; + \infty )$; г) $( - \infty ; - 5 )$; д) $[ 1,6 ; + \infty )$;
е) $[ - 1 \frac{1}{6} ; + \infty ) .$
