- Квадратные уравнения
- Неполные квадратные уравнения
- Решение неполных квадратных уравнений
- Знать определения квадратного уравнения, приведенного квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения
- Уметь выделять коэффициенты квадратного уравнения
- Знать виды неполных квадратных уравнений
- Уметь решать неполные квадратные уравнения
- Решите уравнение:
а) $x^{2} = 4$; б) $x^{2} = 3$; в) $x^{2} + 4 = 0$; г) $x^{2} + 7 x = 0$; д) $( x - 1 ) ( x + 2 ) = 0$.
Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения
Квадратным уравнением называется уравнение вида $a x^{2} + b x + c = 0$, где $x$ — переменная, $a , b , c$ — некоторые числа, причем $a \neq 0$.
Числа $a , b , c$ — коэффициенты квадратного уравнения. Число $a$ называют старшим (первым) коэффициентом, число $b$ — вторым коэффициентом и число $c$ — свободным членом.
Например, квадратными уравнениями являются уравнения
$- 5 x^{2} + 3 x - 9 = 0 ; 0,5 x^{2} - 7 x = 0 ; - 4 x^{2} - 9 = 0$.
В первом уравнении коэффициенты $a = - 5 , b = 3 , c = - 9$, во втором — $a = 0,5 , b = - 7 , c = 0$, в третьем — $a = - 4 , b = 0 , c = - 9$.
Заметим, что квадратное уравнение называют еще уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.
Упражнение 1
Выпишите коэффициенты квадратного уравнения:
а) $3 x^{2} + 7 x - 6 = 0$; б) $2 x^{2} - 5 x + 1 = 0$; в) $x^{2} + 7 - 4 x = 0$;
г) $2 x^{2} - 11 = 0$; д) $15 x - x^{2} = 0$; е) $3 x - x^{2} + 19 = 0$.
Квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен 1, называется приведенным квадратным уравнением.
Например, приведенными квадратными уравнениями являются уравнения $x^{2} - 4 x - 9 = 0 , x^{2} - 8 x = 0 , x^{2} - 3 = 0 .$
Квадратное уравнение $a x^{2} + b x + c = 0$, в котором хотя бы один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю называют неполным квадратным уравнением.
Например, неполными квадратными уравнениями являются уравнения $x^{2} - 7 = 0 , x^{2} - 3 x = 0,5 x^{2} = 0 .$
В первом уравнении $b = 0$, во втором $c = 0$, в третьем $b = 0$ и $c = 0$.
Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:
1) $a x^{2} + c = 0$, где $c \neq 0$;
2) $a x^{2} + b x = 0$, где $b \neq 0$;
3) $a x^{2} = 0$.
Решение неполных квадратных уравнений
Рассмотрим алгоритмы решения каждого вида неполных квадратных уравнений.
Для решения неполного уравнения вида $a x^{2} + c = 0$, где $c \neq 0$, перенесём его свободный член в правую часть и разделим обе части уравнения на $a$. Получаем уравнение $x^{2} = - \frac{c}{a}$, равносильное уравнению $a x^{2} + c = 0$.
Т.к. $c \neq 0$, то $- \frac{c}{a} \neq 0$.
Если $- \frac{c}{a} > 0$, то уравнение имеет два корня:
$x_{1} = - \sqrt{- \frac{c}{a}} \text{и} x_{2} = \sqrt{- \frac{c}{a}}$ .
Если $- \frac{c}{a} < 0$, то уравнение не имеет корней.
Пример 1
Решите уравнение $- 7 x^{2} + 5 = 0$.
Решение
Воспользуемся алгоритмом решения:
$- 7 x^{2} = - 5 ,$
$x^{2} = \frac{5}{7}$.
Отсюда
$x_{1} = - \sqrt{\frac{5}{7}} \text{и} x_{2} = \sqrt{\frac{5}{7}}$
Ответ:$- \sqrt{\frac{5}{7}} , \sqrt{\frac{5}{7}}$
Пример 2
Решите уравнение $5 x^{2} + 6 = 0$.
Решение
Воспользуемся алгоритмом решения:
$5 x^{2} = - 6 , \\ x^{2} = - 1,2 .$
Т.к. –1,2 < 0, то уравнение корней не имеет.
Ответ: нет корней.
Упражнение 2
Решите уравнение:
а) $3 x^{2} - 12 = 0$; б) $z^{2} + 9 = 0$; в) $7 y^{2} - 14 = 0$; г) $6 x^{2} + 24 = 0$;
д) $15 - 5 y^{2} = 0$; е)$\frac{1}{7} x^{2} - \frac{6}{7} = 0$
Для решения неполного квадратного уравнения вида $a x^{2} + b x = 0$, где $b \neq 0$, раскладывают его левую часть на множители путем вынесения общего множителя за скобки и получают уравнение
$x ( a x + b ) = 0$
Произведение $x ( a x + b )$ равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0 \text{или} a x + b = 0$
Решая уравнение $a x + b = 0$, в котором $a \neq 0$, находим
$a x = - b , \\ x = - \frac{b}{a}$
Таким образом, произведение $x ( a x + b )$ обращается в нуль при $x = 0$ и при $x = - \frac{b}{a}$. Корнями уравнения $a x^{2} + b x = 0$ являются числа 0 и $- \frac{b}{a}$.
Значит, неполное квадратное уравнение вида $a x^{2} + b x = 0$, где $b \neq 0$, всегда имеет два корня.
Пример 3
Решите уравнение $6 x^{2} + 3 x = 0$.
Решение
Разложим левую часть уравнения на множители, для этого вынесем множитель $3 x$ за скобку: $3 x ( 2 x + 1 ) = 0$, откуда $3 x = 0$ или $2 x + 1 = 0$. Решением первого уравнения является $x = 0$, второго — $x = - \frac{1}{2}$. То есть у уравнения $6 x^{2} + 3 x = 0$ два корня: 0 и $- \frac{1}{2}$.
Ответ: $- \frac{1}{2} , 0$.
Упражнение 3
Решите уравнение:
а) $2 x^{2} + 6 x = 0$; б) $z^{2} - 3 z = 0$; в) $10 x + 2 x^{2} = 0$; г) $8 y + y^{2} = 0$.
Неполное квадратное уравнение $\mathbf{\mathit{a}} \mathbf{\mathit{x}}^{2} = 0$ равносильно уравнению $\mathbf{\mathit{x}}^{2} = 0$ и поэтому имеет единственный корень 0.
Контрольные вопросы
1. Как называется коэффициент квадратного уравнения при $x^{2}$?
2. Какие квадратные уравнения называются приведенными?
3. Сколько видов неполных квадратных уравнений существует? Какие?
4. Сколько корней может иметь уравнение вида $a x^{2} + c = 0$, где $c \neq 0$?
Упражнение 1
а) 3, 7, –6; б) 2, –5, 1; в) 1, –4, 7;
г) 2, 0, –11; д) –1, 15, 0; е) –1, 3, 19.
Упражнение 2
а) –2; 2; б) нет корней; в) $- \sqrt{2}$; $\sqrt{2}$;
г) нет корней; д) $- \sqrt{3}$; $\sqrt{3}$; е) $- \sqrt{6}$; $\sqrt{6}$.
Упражнение 3
а) –3; 0; б) 0; 3; в) –5; 0; г) –8; 0.
