- Дробные рациональные уравнения
- Решение дробных рациональных уравнений
- Знать определения рациональных, целых и дробных рациональных уравнений
- Уметь решать целые уравнения, содержащие дроби
- Уметь решать дробные рациональные уравнения
- Какие из выражений являются целыми, а какие — дробными?
$a^{2} + \frac{2}{3} a + 4 , \frac{x + y}{3 x} , \frac{a - b}{a + b} , \frac{5 x}{4} + x^{5} , \frac{ a^{2} + 5}{8 a} , \frac{1}{3 a^{3}} - \frac{3 a}{4 a - 1}$.
Дробные рациональные уравнения
Если левая и правая части уравнения являются рациональными выражениями, то уравнение называют рациональным уравнением.
Рациональное уравнение, в котором левая и правая части являются целыми выражениями, называют целым.
Рациональное уравнение, в котором левая или правая часть (или обе) является дробным выражением, называют дробным.
Пример 1
Решите целое уравнение $\frac{3 x - x^{2}}{2} + \frac{2 x^{2} - x}{6} = x$.
Решение
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель входящих в него дробей, т.е. на число 6. Получим уравнение, равносильное данному, не содержащее дробей:
$3 ( 3 x - x^{2} ) + ( 2 x^{2} - x ) = 6 x$.
Упростим выражение в левой части уравнения:
$9 x - 3 x^{2} + 2 x^{2} - x = 6 x$,
$- x^{2} + 2 x = 0$,
$- x ( x - 2 ) = 0$,
$x_{1} = 0$, $x_{2} = 2$.
Ответ: 0; 2.
Пример 2
Решите уравнение $\frac{ x - 7}{x - 2} + \frac{x + 4}{x + 2} = 1$.
Решение
Левая часть уравнения содержит дроби, это уравнение является дробным рациональным.
По аналогии с предыдущим примером умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, т.е. на выражение $( x - 2 ) ( x + 2 )$.
Получим целое уравнение
$( x - 7 ) ( x + 2 ) + ( x + 4 ) ( x - 2 ) = ( x - 2 ) ( x + 2 )$,
$x^{2} - 5 x - 14 + x^{2} + 2 x - 8 = x^{2} - 4$,
$x^{2} - 3 x - 18 = 0$.
Решим уравнение
$D = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 18 ) = 9 + 72 = 81 , D > 0$.
$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2}$;
$x_{1,2} = \frac{3 \pm 9}{2}$;
$x_{1} = - 3$; $x_{2} = 6$.
Далее необходимо проверить, не теряют ли смысл дроби $\frac{ x - 7}{x - 2}$ и $\frac{x + 4}{x + 2}$ при данных значениях переменной. Видим, что знаменатели дробей не обращаются в нуль при $x = - 3$ и $x = 6$.
Таким образом, корнями уравнения $\frac{x - 7}{x - 2} + \frac{x + 4}{x + 2} = 1$ являются корни уравнения $x^{2} - 3 x - 18 = 0$.
Ответ: –3; 6.
При решении дробных рациональных уравнений целесообразно поступать следующим образом:
1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
2) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
3) решить получившееся целое уравнение;
4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.
Пример 3
Решите уравнение $\frac{7 - 2 x}{( x - 6 ) ( x + 1 )} + \frac{3}{( x - 3 ) ( x - 6 )} + \frac{1}{x - 3} = 0$.
Решение
Общий знаменатель данного уравнения $( x - 6 ) ( x - 3 ) ( x + 1 )$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель и получим уравнение
$( 7 - 2 x ) ( x - 3 ) + 3 ( x + 1 ) + ( x - 6 ) ( x + 1 ) = 0 ,$
$- 2 x^{2} + 13 x - 21 + 3 x + 3 + x^{2} - 5 x - 6 = 0 ,$
$- x^{2} + 11 x - 24 = 0 ,$
$x^{2} - 11 x + 24 = 0 .$
$D = 11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25 , D > 0 .$
$x _{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{25}}{2}$;
$x_{1,2} = \frac{11 \pm 5}{2}$;
$x_{1} = 3$; $x_{2} = 8$.
Общий знаменатель $( x - 6 ) ( x - 3 ) ( x + 1 )$ обращается в нуль при $x = 3$, т.е. число 3 это посторонний корень для исходного дробного рационального уравнения. Значит, корнем исходного уравнения является число 8.
Ответ: 8.
Упражнение 1
Решите уравнение:
а) $\frac{x^{2}}{2 - x} = \frac{2 x}{2 - x}$; б) $\frac{x^{2} - 2 x}{x + 4} = \frac{x - 4}{x + 4}$;
в) $\frac{5 x - 7}{x - 3} = \frac{4 x - 3}{x}$; г) $\frac{ 3 y - 3}{3 y - 2} + \frac{6 + 2 y}{3 y + 2} = 2$;
д) $\frac{4}{y - 2} - \frac{2}{y} = \frac{3 - y}{y^{2} - 2 y}$; е) $\frac{4}{1 - 9 y^{2}} + \frac{3}{3 y^{2} + y} = \frac{4}{9 y^{2} + 6 y + 1}$.
Контрольные вопросы
1. В чем отличие целых уравнений от дробных рациональных уравнений?
2. Сформулируйте алгоритм решения дробного рационального уравнения.
Упражнение 1
а) 0; б) нет корней; в) –9; 1; г) $\frac{5}{3}$; 2; д) $- \frac{1}{3}$; е) –1; 1.
