Конспект урока: Теорема Виета

Теорема Виета

Рассмотрим приведенное квадратное уравнение. По традиции второй коэффициент обозначают буквой p, а свободный член q:

$x^{2} + p x + q = 0$

Тогда дискриминант этого уравнения равен $D = p^{2} - 4 q$. 

Пусть $D > 0$. Тогда это уравнение имеет два корня: 
 

 $x_{1} = \frac{- p - \sqrt{D}}{2} \text{и} x_{2} = \frac{- p + \sqrt{D}}{2}$ .

Найдем сумму и произведение корней:
 

$x_{1} + x_{2} = \frac{- p - \sqrt{D}}{2} + \frac{- p + \sqrt{D}}{2} = \frac{- 2 p}{2} = - p$;

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{- p - \sqrt{D}}{2} \cdot \frac{- p + \sqrt{D}}{2} = \frac{\left( - p \right)^{2} - \left( \sqrt{D} \right)^{2}}{4} = \frac{p^{2} - ( p^{2} - 4 q )}{4} = \frac{4 q}{4} = q$.

Таким образом, 

$x_{1} + x_{2} = - p , x_{1} \cdot x_{2} = q$ .

В случае $D = 0$ считают, что квадратное уравнение имеет два равных корня, т.е. $x_{1} = x_{2}$. Тогда теорема Виета будет верна и в этом случае, поскольку корни уравнения можно вычислить по формуле $x = \frac{- p \pm \sqrt{D}}{2}$.

Рассмотрим общий случай. Пусть квадратное уравнение $a x^{2} + b x + c = 0$ имеет корни $x_{1}$ и $x_{2}$. Равносильное данному уравнению приведенное имеет вид

$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$.

По теореме Виета имеем

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} , x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

Теорема, обратная теореме Виета

Справедливо и утверждение, обратное теореме Виета. 

По условию $m + n = - p ,$ а $m \cdot n = q$. Значит, уравнение можно записать в виде
 

$x^{2} - ( m + n ) x + m \cdot n = 0$.

Подставим вместо x число m, получим:
 

$m^{2} - ( m + n ) m + m \cdot n = m^{2} - m^{2} - m n + m n = 0$.

Значит, число m является корнем уравнения. 

Аналогично можно показать, что число n также корень уравнения.

Применение теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета

Рассмотрим примеры применения теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета. 

Найдите сумму и произведение корней уравнения $x^{2} - 16 x + 28 = 0 .$                          

Решение
 

Вычислим дискриминант:

 $D = 16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 256 - 112 = 144 , D > 0$.

Значит, уравнение имеет корни. Тогда

 $x_{1} + x_{2} = 16 , x_{1} \cdot x_{2} = 28$.

Ответ: 16; 28.

Найдите сумму и произведение корней уравнения:

а) $x^{2} - 12 x - 45 = 0$; б) $y^{2} + 17 y + 60 = 0$; 
в) $3 y - 40 + y^{2} = 0$; г) $3 x^{2} - 6 x - 7 = 0$. 

По теореме, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения.

Решите уравнение $x^{2} - 13 x + 40 = 0$ и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета.           

Решение
 

Решим уравнение

$D = ( - 13 )^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 - 160 = 9 , D > 0$.

$x_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{9}}{2}$;

$x_{1,2} = \frac{13 \pm 3}{2}$;

$x_{1} = 5$; $x_{2} = 8$.

Проверим правильность решения с помощью теоремы, обратной теореме Виета.

Сумма найденных чисел 5 и 8 равна 13, а их произведение 40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа корни уравнения $x^{2} - 13 x + 40 = 0$.

Ответ: 5; 8.

Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

а) $x^{2} + 6 x + 8 = 0$; б) $x^{2} - 3 x - 18 = 0$; 
в) $3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$; г) $25 x^{2} - 25 x + 6 = 0 .$

Найдите подбором корни уравнения $x^{2} + 3 x + 2 = 0$.                                              

Решение
 

$D = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 , D > 0$.

Пусть x₁ и x₂ — корни уравнения. Тогда 

$x_{1} + x_{2} = - 3 , x_{1} \cdot x_{2} = 2$.

Если x₁ и x₂ — целые числа, они являются делителями числа 2. Т.е. возможны два варианта:

$1 \cdot 2 = 2 , ( - 1 ) \cdot ( - 2 ) = 2$.

Поскольку $- 1 + ( - 2 ) = - 3$, то $x_{1} = - 2$, $x_{2} = - 1$.

Ответ: –2; –1.

Найдите подбором корни уравнения:

а) $x^{2} - 15 x + 14 = 0$; б) $x^{2} + 8 x + 7 = 0$; 
в) $x^{2} - 19 x + 18 = 0$; г) $x^{2} - 11 x - 80 = 0 .$

1. Как изменится формулировка теоремы Виета для квадратного уравнения в общем случае $a x^{2} + b x + c = 0$?

2. Как с помощью теоремы, обратной теореме Виета, решить приведенное квадратное уравнение?