Конспект урока: Числовые неравенства и их свойства

Числовые неравенства

Для конкретных видов чисел использовался тот или иной способ сравнения. Гораздо удобнее иметь способ, охватывающий все случаи.

На координатной прямой большее число располагается правее меньшего числа. Пусть a и b — некоторые числа. Обозначим разность $a - b$ буквой с. Т.к. $a - b = c$, то $a = b + c$.

Рис. 1. Сравнение чисел на координатной прямой

Если c — положительное число, то точка с координатой $b + c$ лежит правее точки с координатой b, а если c — отрицательное число, то левее. 

 

Таким образом, если $a > b$, то точка с координатой a лежит правее точки с координатой b, если $a < b$ — левее.

Докажите, что при любых значениях переменной x верно неравенство   $( x - 4 ) ( x - 6 ) < ( x - 5 )^{2}$.                        

Решение
 

Составим разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее:

$( x - 4 ) ( x - 6 ) - ( x - 5 )^{2} = x^{2} - 10 x + 24 - ( x^{2} - 10 x + 25 ) =$

$= x^{2} - 10 x + 24 - x^{2} + 10 x - 25 = - 1 < 0 .$

Таким образом, значение разности отрицательно, следовательно неравенство $( x - 4 ) ( x - 6 ) < ( x - 5 )^{2}$ верно для любых значений переменной x .

Пусть a и b — положительные числа. Число $\frac{a + b}{2}$ называется средним арифметическим чисел a и b, число $\sqrt{a b}$ — средним геометрическим, число 
$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ — средним гармоническим. Докажите, что

$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2}$.

Решение
 

Разобьем двойное неравенство на два:

$\sqrt{a b} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$, $\sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2}$

Докажем сначала, что 

$\sqrt{a b} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$.

$\sqrt{a b} - \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \sqrt{a b} - \frac{2 a b}{a + b} = \frac{a \sqrt{a b} + b \sqrt{a b} - 2 a b}{a + b} = \frac{\sqrt{a b} ( a + b - 2 \sqrt{a b} )}{a + b} =$

$= \frac{\sqrt{a b} ( \sqrt{a} - \sqrt{b} )^{2}}{a + b} .$

При $a > 0$ и $b > 0$ рассматриваемая разность неотрицательна и, следовательно, верно неравенство.

Далее докажем, что :

$\sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2}$.

$\sqrt{a b} - \frac{a + b}{2} = \frac{2 \sqrt{a b} - a - b}{2} = - \frac{a - 2 \sqrt{a b} + b}{2} = - \frac{( \sqrt{a} - \sqrt{b} )^{2}}{2}$.

Полученная разность неположительна, а, значит неравенство верно.

Таким образом, верно и двойное неравенство $\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2}$.

Сравните числа a и b если:

а) $a - b = 0,539$; б) $a - b = - \frac{7}{9}$; в) $a - b = \sqrt{6} - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$; г) $a - b = \sqrt{\frac{3}{5}}$

Докажите, что при любых значениях переменных верно неравенство

а) $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$; б) $( a - 4 ) ( a - 3 ) > ( a + 2 ) ( a - 9 )$; в) $a ( a - 6 ) < ( a - 3 )^{2}$.

Свойства числовых неравенств

Рассмотрим некоторые свойства числовых неравенств.

Если $a > b$, то $b < a$; если $a < b$, то $b > a$.

Если разность $a - b$ — положительное число, то разность $b - a$ — отрицательное число, и наоборот.

Если $a < b$ и $b < c$, то $a < c$.

Докажем, что разность $a - c$ — отрицательное число. Прибавим к этой разности числа $- b$ и $b$ и сгруппируем слагаемые:

$a - c = a - c + b - b = ( a - b ) + ( b - c )$

Рис. 2. Геометрическая иллюстрация теоремы 2

По условию $a < b$ и $b < c$, поэтому слагаемые $a - b$ и $b - c$ — отрицательные числа. Значит, и их сумма является отрицательным числом, следовательно, $a < c$.

Аналогично доказывается, что если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.

 

Геометрическая иллюстрация этих свойств на рисунке 2.

Если $a < b$ и с — любое число, то $a + c < b + c$.

Преобразуем разность $( a + c ) - ( b + c )$:

$( a + c ) - ( b + c ) = a + c - b - c = a - b$.

По условию $a < b$, поэтому $a - b$ — отрицательное число. Значит, и разность $( a + c ) - ( b + c )$ отрицательна. Следовательно, $a + c < b + c$.

Таким образом, можно сформулировать свойство:

Если $a < b$ и с — положительное число, то $a c < b c$.

Если $a < b$ и с — отрицательное число, то $a c > b c$.

Преобразуем разность $a c - b c : a c - b c = c ( a - b )$.

По условию $a < b$, поэтому $a - b$ — отрицательное число. Если $c > 0$, то произведение $c ( a - b )$ отрицательно, и, следовательно, $a c < b c$. Если $c < 0$, то произведение $c ( a - b )$ положительно, и, следовательно, $a c > b c$.

Т.к. деление можно заменить умножением на число, обратное делителю, то аналогичное свойство справедливо и для деления.

Если a и b — положительные числа и $a < b$, то $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$.

Разделим обе части неравенства $a < b$ на положительное число $a b : \frac{a}{a b} < \frac{b}{a b}$. Если сократить дробь, то получим, что $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$, т.е. $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$.

Применение свойств числовых неравенств

Рассмотрим пример использования рассмотренных свойств неравенств.

Сравните с нулем числа a и b, если известно, что:

а) $a + 5 > b + 5 \text{и} b > 0,5$ ; б)  $- 12 a > - 12 \text{bи} b < - 1$.                                 

Решение
 

а) Прибавим к обеим частям неравенства число –5: $a > b$. С учетом $b > 0,5$ получаем $0,5 < b < a$.

Т.е. $a > 0$ и $b > 0$.

б) Разделим обе части неравенства на число –12: $a < b$. С учетом $b < - 1$ получаем $a < b < - 1$. Т.е. $a < 0$ и $b < 0$.

Ответ: а)  $a > 0 \text{и} b > 0$ ; б)  $a < 0 \text{и} b < 0$.

1. Известно, что $a < b$. Поставьте вместо * знак > или < так, чтобы получилось верное неравенство:

а) $a - 4 \star b - 4$; б) $10,5 a \star 10,5 b$; в) $- 3,2 a \star - 3,2 b$; г) $- \frac{a}{3} \star - \frac{b}{3}$.

2. Сравните с нулем числа a и b, если известно, что:

а)  $a - 1 < b - 1 \text{и} b < - 0,2$; б)  $3 a < 3 \text{bи} a > 1$.