Конспект урока: Формулы приведения

План урока

• Вывод формул приведения
• Правило для запоминания формул приведения
• Решение заданий

Цели урока

• Знать формулы приведения, правила записи формул приведения
• Уметь их использовать при решении задач

Разминка

По рис. 1 – рис. 4 ответьте на вопросы:

 

Рис. 1                                                                                            Рис. 2

Рис. 3                                                                                               Рис. 4

 

1. Синусы каких углов равны синусу $30^{\circ}$ (рис. 1)?

2. Косинусы каких углов равны косинусу $120^{\circ}$ (рис. 2)?

3. Сравните значения синуса и косинуса для точек В и М. На какой угол повернули точку А(1; 0), чтобы получить точку М (рис. 3)? На какой угол повернули точку В, чтобы получить точку М?

4. Выразите угол $\beta$ через $\alpha$ (рис. 4). Сравните синусы и косинусы углов $\alpha , \beta .$

Рис. 5

Вычислим значение  $\sin 855^{\circ}$ и $\cos 855^{\circ} .$ Как мы уже делали раньше, представим угол $855^{\circ}$в виде $k \cdot 360^{\circ} + \alpha , k \in Z ,$ т. е. выделим полные обороты окружности. 

 

$855^{\circ} = 2 \cdot 360^{\circ} + 135^{\circ} .$

 

Значит, если повернуть точку  А(1; 0) на угол $855^{\circ}$, то попадем в ту же точку, что и при повороте на $135^{\circ} ,$ назовем ее точкой В (рис. 5), т. е.  $\sin 855^{\circ} = \sin 135^{\circ} , \cos 855^{\circ} = \cos 135^{\circ} .$

Рис. 6

Построим точку С, симметричную В относительно оси ординат (рис. 6). Видно, что ординаты точек В и С одинаковые, а абсциссы отличаются знаками. Раз точка В получена из точки А поворотом на $135^{\circ} = 180^{\circ} - 45^{\circ} ,$ то точку С можно получить, повернув А на угол $45^{\circ}$.

Поэтому 

$\sin 135^{\circ} = \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} ,$

$\cos 135^{\circ} = - \cos 45^{\circ} = - \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Из решения этой задачи можно заметить:

• При повороте точки А(1; 0) на угол $\alpha + 2 \pi k , k \in Z$ получается та же точка, что и при повороте на угол $\alpha$, значит верны
   

$\sin ( \alpha + 2 \pi k ) = \sin \alpha ,$               (1)

$\cos ( \alpha + 2 \pi k ) = \cos \alpha .$               (2)

• $\sin ( 180^{\circ} - 45^{\circ} ) = \sin 45^{\circ} , \cos ( 180^{\circ} - 45^{\circ} ) = - \cos 45^{\circ} ,$ тогда
   

$\sin ( \pi - \alpha ) = \sin \alpha ,$               (3)

$\cos ( \pi - \alpha ) = - \cos \alpha .$          (4)

Формулы (3) и (4) можно доказать, используя уже известные нам формулы синуса разности аргументов и косинуса разности аргументов. Вообще говоря, (3) и (4) называются формулами приведения. Но только этими двумя список формул приведения не ограничивается.

Формулы приведения для синуса и косинуса угла

$\sin ( \frac{\pi}{2} - \alpha ) = \cos \alpha , \cos ( \frac{\pi}{2} - \alpha ) = \sin \alpha ,$

$\sin ( \pi - \alpha ) = \sin \alpha , \cos ( \pi - \alpha ) = - \cos \alpha ,$

$\sin ( \frac{3 \pi}{2} - \alpha ) = - \cos \alpha , \cos ( \frac{3 \pi}{2} - \alpha ) = - \sin \alpha ,$

$\sin ( \frac{\pi}{2} + \alpha ) = \cos \alpha , \cos ( \frac{\pi}{2} + \alpha ) = - \sin \alpha ,$

$\sin ( \pi + \alpha ) = - \sin \alpha , \cos ( \pi + \alpha ) = - \cos \alpha ,$

$\sin ( \frac{3 \pi}{2} + \alpha ) = - \cos \alpha , \cos ( \frac{3 \pi}{2} + \alpha ) = \sin \alpha .$

Все формулы справедливы для любого значения аргумента.

Вычислите:

1) $\cos 300^{\circ} ;$                  2) $\sin \frac{5 \pi}{3} .$

Решение

1) $\cos 300^{\circ} = \cos ( 270^{\circ} + 30^{\circ} ) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} .$

2) $\sin \frac{5 \pi}{3} = \sin ( 2 \pi - \frac{\pi}{3} ) = - \sin \frac{\pi}{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Ответ: 1) $\frac{1}{2} ;$

              2) $- \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Чтобы вывести формулы приведения для тангенса и котангенса угла, можно использовать определение тангенса и котангенса, например, $\operatorname{tg} ( \frac{\pi}{2} - \alpha ) = \frac{\sin ( \frac{\pi}{2} - \alpha )}{\cos ( \frac{\pi}{2} - \alpha )} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha$ и т. д. Приведем формулы приведения для тангенса и котангенса угла без доказательства.

$\operatorname{tg} ( \frac{\pi}{2} - \alpha ) = \operatorname{ctg} \alpha , \\ \operatorname{ctg} ( \frac{\pi}{2} - \alpha ) = \operatorname{tg} \alpha ,$

$\operatorname{tg} ( \pi - \alpha ) = - \operatorname{tg} \alpha , \\ \operatorname{ctg} ( \pi - \alpha ) = - \operatorname{ctg} \alpha ,$

$\operatorname{tg} ( \frac{3 \pi}{2} - \alpha ) = \operatorname{ctg} \alpha , \\ \operatorname{ctg} ( \frac{3 \pi}{2} - \alpha ) = \operatorname{tg} \alpha ,$

$\operatorname{tg} ( \frac{\pi}{2} + \alpha ) = - \operatorname{ctg} \alpha , \\ \operatorname{ctg} ( \frac{\pi}{2} + \alpha ) = - \operatorname{tg} \alpha ,$

$\operatorname{tg} ( \pi + \alpha ) = \operatorname{tg} \alpha , \\ \operatorname{ctg} ( \pi + \alpha ) = \operatorname{ctg} \alpha ,$

$\operatorname{tg} ( \frac{3 \pi}{2} + \alpha ) = - \operatorname{ctg} \alpha , \\ \operatorname{ctg} ( \frac{3 \pi}{2} + \alpha ) = - \operatorname{tg} \alpha .$

Все формулы справедливы для любого допустимого значения аргумента.

Все приведенные выше формулы приведения помнить необязательно, к ним можно прийти, опираясь на правило:

Вычислите:

1) $\operatorname{tg} \frac{31 \pi}{3} ;$                  2) $\cos 945^{\circ} .$

Решение

1) Представим аргумент  $\frac{31 \pi}{3}$ в виде $a + 2 \pi k , k \in Z :$ $\frac{31 \pi}{3} = 10 \pi + \frac{\pi}{3} .$ Тогда 

$\operatorname{tg} \frac{31 \pi}{3} = \operatorname{tg} ( 10 \pi + \frac{\pi}{3} ) .$ Аргумент тангенса имеет вид $\pi k + \alpha , k \in Z ,$ значит, по правилу, описанному выше, наименование функции останется тем же. Угол $10 \pi + \frac{\pi}{3}$ находится в I четверти, в которой $\operatorname{tg} \alpha > 0 .$Тогда $\operatorname{tg} ( 10 \pi + \frac{\pi}{3} ) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} .$

2) $\cos 945^{\circ} = \cos ( 2 \cdot 360^{\circ} + 225^{\circ} ) = \cos 225^{\circ} = \cos ( 270^{\circ} - 45^{\circ} ) .$

Аргумент косинуса имеет вид $\frac{\pi}{2} k - \alpha , k \in Z ,$ тогда косинус меняется на синус, угол $225^{\circ}$ расположен в III четверти, в которой cos$\alpha$<0. Получили, что $\cos ( 270^{\circ} - 45^{\circ} ) = - \sin 45^{\circ} = - \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Ответ: 1) $\sqrt{3 ;}$

              2) $- \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Определите знак числового выражения $B = \frac{\sin 215^{\circ} \cdot \cos 318^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 1060^{\circ}}{\cos 520^{\circ}} .$

Решение

Определим знак каждого выражения в В.

$\sin 215^{\circ} = \sin ( 180^{\circ} + 35^{\circ} ) = - \sin 35^{\circ} < 0 ;$

$\cos 318^{\circ} = \cos ( 360^{\circ} - 42^{\circ} ) = \cos 42^{\circ} > 0 ;$

$\operatorname{tg} 1060^{\circ} = \operatorname{tg} ( 1080^{\circ} - 20^{\circ} ) = - \operatorname{tg} 20^{\circ} < 0 ;$

$\cos 520^{\circ} = \cos ( 540^{\circ} - 20^{\circ} ) = - \cos 20^{\circ} < 0 .$

Таким образом, числитель — положительное число, знаменатель — отрицательное. Тогда выражение $B$ принимает отрицательное значение.

Ответ: отрицательное.

Докажите тождество $\frac{\cos ( x - 2 \pi ) \sin ( 2 \pi - x ) \sin ( x - \pi )}{\operatorname{ctg} ( \pi - x ) \sin ( \frac{\pi}{2} - x ) \operatorname{ctg} ( x + \frac{3 \pi}{2} )} = \sin^{2} x .$

Доказательство

Рассмотрим левую часть тождества и сделаем так, чтобы аргумент функции начинался с $\pi k$ или $\frac{\pi}{2} k , k \in Z$, для этого вынесем минус там, где это необходимо: 

$\frac{\cos ( - ( 2 \pi - x ) ) \sin ( 2 \pi - x ) \sin ( - ( \pi - x ) )}{\operatorname{ctg} ( \pi - x ) \sin ( \frac{\pi}{2} - x ) \operatorname{ctg} ( \frac{3 \pi}{2} + x )} .$ Применим формулы синуса и косинуса отрицательных углов  $\sin ( - x ) = - \sin x , \cos ( - x ) = \cos x ,$тогда $\frac{\cos ( - ( 2 \pi - x ) ) \sin ( 2 \pi - x ) \sin ( - ( \pi - x ) )}{\operatorname{ctg} ( \pi - x ) \sin ( \frac{\pi}{2} - x ) \operatorname{ctg} ( \frac{3 \pi}{2} + x )} =$ $\frac{- \cos ( 2 \pi - x ) \sin ( 2 \pi - x ) \sin ( \pi - x )}{\operatorname{ctg} ( \pi - x ) \sin ( \frac{\pi}{2} - x ) \operatorname{ctg} ( \frac{3 \pi}{2} + x )} .$

Воспользуемся правилом для формул приведения: $\frac{- \cos x ( - \sin x ) \sin x}{- \operatorname{ctg} x \cos x ( - \operatorname{tg} x )} .$ Помня, что $\operatorname{ctg} x \cdot \operatorname{tg} x = 1$ и сократив дробь на cosx, получим $\sin^{2} x ,$ а это и есть правая часть тождества.

Вычислите:

1) $\cos 495^{\circ} - \operatorname{tg} 945^{\circ} + \sin 1125^{\circ} ;$

2) $\sin ( - 7 \pi ) + 2 \cos ( - \frac{49 \pi}{6} ) - \operatorname{ctg} ( - \frac{21 \pi}{4} ) .$

Докажите тождество $\frac{\sin^{2} ( x - \frac{3 \pi}{2} ) \cos ( 2 \pi - x )}{\operatorname{tg}^{2} ( x - \frac{\pi}{2} ) \cos^{2} ( x - \frac{3 \pi}{2} )} = \cos x .$

1. Замените данное выражение соответствующим обозначением тригонометрической функции:  $\cos ( \frac{\pi}{2} + x )$, $\sin ( \pi + x )$, $\operatorname{tg} ( \frac{3 \pi}{2} + x )$, $\operatorname{ctg} ( 2 \pi + x )$.

2. Замените данное выражение соответствующим обозначением тригонометрической функции: $\sin ( \frac{\pi}{2} - x )$, $\operatorname{tg} ( \pi - x )$, $\operatorname{ctg} ( \frac{3 \pi}{2} - x )$, $\cos ( 2 \pi - x )$.