Конспект урока: Формулы сложения

План урока

• Вывод формул косинуса суммы и косинуса разности аргументов, примеры использования.
• Вывод формул синуса суммы и синуса разности аргументов, примеры использования.
• Вывод формул тангенса суммы и тангенса разности аргументов, примеры использования.

Цели урока

• Знать формулы сложения и разности аргументов.
• Уметь выводить формулы сложения и разности аргументов, применять их при вычислениях, преобразованиях тригонометрических выражений.

Разминка

Рис. 1

1. Вычислите:

 

1) $\sin^{2} x + \cos^{2} x ;$

2) $\sin^{2} ( x + y ) + \cos^{2} ( x + y ) ;$

3) $\sin^{2} ( 2 m ) + \cos^{2} ( 2 m ) .$

 

2. Упростите выражения:
 

1) $( 1 - \sin ( - a ) ) ( 1 + \sin ( - a ) ) ;$

2) $\frac{1 + \cos ( - a )}{\sin ( - a )} - \operatorname{ctg} ( - a ) .$

 

3. Найдите расстояние между точками M и N единичной окружности, если М получена поворотом точки А(1; 0) на угол $\alpha = \frac{\pi}{3}$, N — на угол $\alpha = - \frac{\pi}{6}$(рис. 1).

Из школьного курса геометрии мы знаем, что расстояние между двумя точками $A ( x_{1} ; y_{1} )$ и $B ( x_{2} ; y_{2} )$ можно найти по формуле $\rho ( A ; B ) = A B = \sqrt{\left( x_{2} - x_{1} \right)^{2} + \left( y_{2} - y_{1} \right)^{2}} .$

Пусть на единичной окружности есть точки А(1; 0), М₁, полученная поворотом точки А на угол $\alpha ,$ М₂ — на угол $- \beta ,$ М₃ — на угол $\alpha + \beta$(рис. 2). Тогда каждая из этих точек будет иметь координаты:

$M_{1} ( \cos \alpha ; \sin \alpha ) , M_{2} ( \cos ( - \beta ) ; \sin ( - \beta ) ) , M_{3} ( \cos ( \alpha + \beta ) ; \sin ( \alpha + \beta ) ) .$

Рис. 2

Треугольники М₃ОА и М₁ОМ₂ равнобедренные, т. к. $M_{3} O = M_{1} O = M_{2} O$ как радиусы окружности, кроме того $\angle M_{3} O A = \angle M_{1} O M_{2} = \alpha + \beta .$ Значит, $\triangle M_{3} O A = \triangle M_{1} O M_{2}$ по двум сторонам и углу между ними. Треугольники равны, соответствующие элементы равны, тогда их основания $M_{3} A$ и $M_{1} M_{2}$ равны. 

 

Если равны расстояния, то и квадраты расстояний тоже равны. 

$M_{3} A^{2} = M_{1} \left(M_{2}\right)^{2} ,$

$( 1 - \cos \left( \alpha + \beta ) \right)^{2} + ( 0 - \sin \left( \alpha + \beta ) \right)^{2} = ( \cos ( - \beta ) - \cos \left(\alpha \right)^{2} + + ( \sin ( - \beta ) - \sin \left(\alpha \right)^{2} .$

Применим формулы квадрата суммы, косинуса и синуса отрицательного аргумента

$1 - 2 \cos ( \alpha + \beta ) + \cos^{2} ( \alpha + \beta ) + \sin^{2} ( \alpha + \beta ) = \cos^{2} \beta - 2 \cos \beta \cos \alpha + \cos^{2} \alpha + \\ + \sin^{2} \beta + 2 \sin \beta \sin \alpha + \sin^{2} \alpha .$

Используя основное тригонометрическое тождество, получим

$2 - 2 \cos ( \alpha + \beta ) = 2 - 2 \cos \beta \cos \alpha + 2 \sin \beta \sin \alpha .$

Вычтем из обеих частей 2 и разделим обе части равенства на –2:

$\cos ( \alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta .$                (1)

Заменим в формуле (1) $\beta$ на $- \beta$

$\cos ( \alpha + ( - \beta ) ) = \cos \alpha \cos ( - \beta ) - \sin \alpha \sin ( - \beta ) ,$

$\cos ( \alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .$                (2)

Вычислите $\cos \frac{3 \pi}{4} .$

Решение

Запишем аргумент $\frac{3 \pi}{4}$в виде суммы $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$и применим формулу (1)

$\cos ( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} ) = \cos \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{2} \sin \frac{\pi}{4} = 0 \times \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $- \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Вычислите $\cos \frac{5 \pi}{6} .$

Решение

$\cos \frac{5 \pi}{6} = \cos ( \pi - \frac{\pi}{6} ) .$

Воспользуемся формулой (2)

$\cos ( \pi - \frac{\pi}{6} ) = \cos \pi \cos \frac{\pi}{6} + \sin \pi \sin \frac{\pi}{6} = - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Ответ:  $- \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Используя формулу (2) можно доказать, что 

$\cos ( \frac{\pi}{2} - \alpha ) = \sin \alpha .$                (3)

А если в (3) вместо $\alpha$ взять $\frac{\pi}{2} - \alpha$, то $\cos ( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + \alpha ) = \sin ( \frac{\pi}{2} - \alpha ) ,$

$\sin ( \frac{\pi}{2} - \alpha ) = \cos \alpha .$                (4)

Теперь выведем формулы для синуса суммы и синуса разности аргументов, т. е. для $\sin ( \alpha + \beta )$ и $\sin ( \alpha - \beta ) .$ Для вывода воспользуемся формулами (1)–(4).

$\sin ( \alpha + \beta ) = \cos ( \frac{\pi}{2} - ( \alpha + \beta ) ) = \cos ( ( \frac{\pi}{2} - \alpha ) - \beta ) = \cos ( \frac{\pi}{2} - \alpha ) \cos \beta + \\ + \sin ( \frac{\pi}{2} - \alpha ) \sin \beta = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta ,$ 

т. е.

$\sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$              (5)

 Заменим в (5) $\beta$ на $- \beta$, тем самым получим формулу для синуса разности.

$\sin ( \alpha + ( - \beta ) ) = \sin \alpha \cos ( - \beta ) + \cos \alpha \sin ( - \beta )$,

$\sin ( \alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$              (6)

Вычислите:

1) $\sin 75^{\circ} ;$

2) $\sin 48^{\circ} \cos 18^{\circ} - \cos 48^{\circ} \sin 18^{\circ} .$

Решение

1) Представим $75^{\circ}$ в виде суммы $30^{\circ}$ и $45^{\circ}$ и применим формулу (5).

$\sin 75^{\circ} = \sin ( 30^{\circ} + 45 ) \circ = \sin 30^{\circ} \cos 45^{\circ} + \cos 30^{\circ} \sin 45^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot$

$\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} .$

2) Заметим, что выражение $\sin 48^{\circ} \cos 18^{\circ} - \cos 48^{\circ} \sin 18^{\circ}$ похоже на правую часть формулы (6), тогда $\sin 48^{\circ} \cos 18^{\circ} - \cos 48^{\circ} \sin 18^{\circ} = \sin ( 48^{\circ} - 18^{\circ} ) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} .$

Ответ: 1)  $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} ;$

              2) $\frac{1}{2} .$

Найдем чему будет равен тангенс суммы и тангенс разности аргументов.

$\operatorname{tg} ( \alpha + \beta ) = \frac{\sin ( \alpha + \beta )}{\cos ( \alpha + \beta )} = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}$.

Числитель и знаменатель полученной дроби разделим почленно на $\cos \alpha \cos \beta$

$\frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} + \frac{\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{\cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} - \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}} = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} .$ Значит, 

$\operatorname{tg} ( \alpha + \beta ) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} .$             (7)

Аналогично можно доказать 

$\operatorname{tg} ( \alpha - \beta ) = \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} .$             (8)

Формулы (7) и (8) имеют место при $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $\beta \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $\alpha + \beta \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in Z .$

Упростите выражение $\frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} y}{\cos ( x - y )} \cdot \sin x \cdot \sin y .$

Решение

Воспользуемся определениями тангенса и котангенса угла и преобразуем выражение:

$\frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos y}{\sin y}}{\cos ( x - y )} \cdot \sin x \sin y = \\ \\ = \frac{\frac{\sin x \sin y + \cos y \cos x}{\cos x \sin y}}{\cos ( x - y )} \cdot \sin x \sin y = \frac{\frac{\cos ( x - y )}{\cos x \sin y} \cdot \sin x \sin y}{\cos ( x - y )} = \frac{\sin x}{\cos x} = \operatorname{tg} x .$

Ответ: $\operatorname{tg} x .$

Вычислите:

1) $\operatorname{tg} 135^{\circ} ;$

2) $\cos \frac{\pi}{12} ;$

3) $\cos \frac{14 \pi}{15} \cos \frac{3 \pi}{5} + \sin \frac{14 \pi}{15} \sin \frac{3 \pi}{5} .$

Доказать тождество $\frac{\sqrt{2} \cos x - 2 \cos ( \frac{\pi}{4} - x )}{2 \sin ( \frac{\pi}{6} + x ) - \sqrt{3} \sin x} = - \sqrt{2} \operatorname{tg} x .$

1. Дано тождество $\sin 3 x \cos 6 x + \cos 3 x \sin 6 x = t ( x ) .$ Какое из утверждений $t ( x ) = \sin 3 x , t ( x ) = \cos 3 x , t ( x ) = \sin 9 x , t ( x ) = \cos 9 x$ верно?

2. Дано тождество $\cos 3 x \cos 6 x + \sin 3 x \sin 6 x = t ( x ) .$ Какое из утверждений $t ( x ) = \sin 3 x , t ( x ) = \cos 3 x , t ( x ) = \sin 9 x , t ( x ) = \cos 9 x$ верно?

3. Верна ли формула $\operatorname{tg} ( x + \frac{\pi}{4} ) = \frac{\operatorname{tg} x + 1}{1 - \operatorname{tg} x} ?$ Если верна, указать при каких значениях переменной.