- Определение тождества.
- Способы доказательств тождеств.
- Решение заданий
- Знать определение тождества, способы доказательств тождеств.
- Уметь применять изученные ранее тригонометрические формулы при доказательстве тождеств.
- Выразите косинус, тангенс и котангенс угла через $\sin \alpha .$
- Могут ли одновременно быть $\sin \alpha = \frac{3}{5} , \cos \alpha = - \frac{2}{5} ?$
- Вычислите $\cos^{2} \frac{\pi}{4} - \sin^{2} \frac{\pi}{4} .$
Формулу $\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1$ называют основным тригонометрическим тождеством. А что же такое тождество?
Тождеством называется равенство, справедливое при всех допустимых значениях переменной, то есть при таких, при которых левая и правая части равенства имеют смысл. Задачи на доказательство этих равенств называются задачами на доказательство тождеств.
Способы доказательств тождеств
- Преобразование левой части к виду правой.
- Преобразование правой части к виду левой.
- Преобразование левой и правой частей к одному и тому же выражению.
- Установление того, что разность между левой и правой частями равна нулю.
Пример 1
Докажите тождество:
1)$\frac{\sin^{4} x - \cos^{4} x}{( 1 - \cos x ) ( 1 + \cos x )} + 2 \operatorname{ctg}^{2} x = \frac{1}{\sin^{2} x} ;$
2) $\operatorname{ctg}^{2} x - \cos^{2} x = \operatorname{ctg}^{2} x \cdot \cos^{2} x .$
Решение
1) Докажем тождество двумя способами.
1 способ. Упростим левую часть. Применим формулу разности квадратов и определение котангенса угла:
$\frac{\sin^{4} x - \cos^{4} x}{( 1 - \cos x ) ( 1 + \cos x )} + 2 \operatorname{ctg}^{2} x = \frac{( \sin^{2} x - \cos^{2} x ) ( \sin^{2} x + \cos^{2} x )}{1 - \cos^{2} x} + \frac{2 \cos^{2} x}{\sin^{2} x} .$
Из основного тригонометрического тождества $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ понимаем, что $1 - \cos^{2} x = \sin^{2} x ,$ тогда $\frac{\sin^{2} x - \cos^{2} x}{\sin^{2} x} + \frac{2 \cos^{2} x}{\sin^{2} x} = \frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\sin^{2} x} = \frac{1}{\sin^{2} x} .$ А это и есть правая часть тождества.
2 способ. Докажем, что разность между левой и правой частями тождества равна нулю.
$\frac{\sin^{4} x - \cos^{4} x}{( 1 - \cos x ) ( 1 + \cos x )} + 2 \operatorname{ctg}^{2} x - \frac{1}{\sin^{2} x} =$ $\frac{( \sin^{2} x - \cos^{2} x ) ( \sin^{2} x + \cos^{2} x )}{1 - \cos^{2} x} + \frac{2 \cos^{2} x}{\sin^{2} x} - \frac{1}{\sin^{2} x} =$
$= \frac{\sin^{2} x - \cos^{2} x}{\sin^{2} x} + \frac{2 \cos^{2} x}{\sin^{2} x} - \frac{1}{\sin^{2} x} = \frac{1}{\sin^{2} x} - \frac{1}{\sin^{2} x} = 0 .$
2) $\operatorname{ctg}^{2} x - \cos^{2} x = \operatorname{ctg}^{2} x \cdot \cos^{2} x .$
Упростим левую часть тождества:
$\operatorname{ctg}^{2} x - \cos^{2} x = \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x} - \cos^{2} x = \frac{\cos^{2} x - \cos^{2} x \cdot \sin^{2} x}{\sin^{2} x} = \frac{\cos^{2} x ( 1 - \sin^{2} x )}{\sin^{2} x} = \frac{\cos^{2} x \cdot \cos^{2} x}{\sin^{2} x} = \\ = \operatorname{ctg}^{2} x \cdot \cos^{2} x .$
Такое же выражение записано и в правой части, значит тождество доказано.
Упражнение 1
Докажите тождество:
1)$\frac{1 + \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{ctg} a} = \operatorname{tg} a ;$
2)$\frac{\operatorname{ctg} a}{\operatorname{tg} a} + \sin^{2} a + \cos^{2} a = \frac{1}{\sin^{2} a} .$
Пример 2
Найдите значение выражения $\cos^{3} x - \sin^{3} x ,$ если $\cos x - \sin x = 0,3 .$
Решение
Воспользуемся формулой разности кубов и основным тригонометрическим тождеством:
$\cos^{3} x - \sin^{3} x = ( \cos x - \sin x ) ( \cos^{2} x + \cos x \sin x + \sin^{2} x ) = \\ = ( \cos x - \sin x ) ( 1 + \cos x \sin x ) = 0,3 ( 1 + \cos x \sin x ) .$
Возведем во вторую степень равенство, данное в условии получим
$\cos^{2} x - 2 \cos x \sin x + \sin^{2} x = 0,09 ,$
$1 - 2 \cos x \sin x = 0,09 ,$
$2 \cos x \sin x = 0,91 ,$
$\cos x \sin x = 0,455 .$
Тогда $0,3 ( 1 + \cos x \sin x ) = 0,3 \cdot 1,455 = 0,4365 .$
Ответ: 0,4365.
Упражнение 2
Найдите значение выражения $\operatorname{tg}^{2} a + \operatorname{ctg}^{2} a ,$ если $\operatorname{tg} a + \operatorname{ctg} a = 5 .$
Контрольные вопросы:
1. Что такое тождество?
2. Перечислите основные способы доказательств тождеств.
Упражнение 1
Указание:
1) воспользоваться определениями тангенса и котангенса угла;
2) использовать определение тангенса, котангенса угла, формулу зависимости между котангенсом и синусом.
Упражнение 2
23.
