- Решение тригонометрических уравнений, квадратных относительно одной из тригонометрических функций.
- Знать вид тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.
- Уметь решать простейшие тригонометрические уравнения.
- Уметь решать уравнения, квадратные относительно одной из тригонометрических функций.
- При каких значениях $a$ уравнение $\cos x = a$ имеет решение?
- В каком промежутке находится $\arccos a$?
- Чему равен $\arccos ( - a )$?
- При каких значениях $a$ уравнение $\sin x = a$ имеет решение?
- В каком промежутке находится $\arcsin a$?
- Чему равен $\arcsin ( - a )$?
- При каких значениях $a$ уравнение $\operatorname{tg} x = a$ имеет решение?
- В каком промежутке находится $\operatorname{arctg} a$? Чему равен $\operatorname{arctg} ( - a )$?
При решении любого тригонометрического уравнения основной задачей является свести его к простейшему тригонометрическому уравнению путем применения различных преобразований. Вспомним основные формулы корней простейших тригонометрических уравнений:
$\sin x = a , \left|a\right| \leq 1 x = \left( - 1 \right)^{n} \arcsin a + \pi n , n \in Z ;$
$\cos x = a , \left|a\right| \leq 1 x = \pm \arccos a + 2 \pi k , k \in Z ;$
$\operatorname{tg} x = a , a \in R x = \operatorname{arctg} a + \pi k , k \in Z ;$
$\operatorname{ctg} x = a , a \in R x = \operatorname{arcctg} a + \pi k , k \in Z .$
Пример 1
Решите уравнение $3 \cos^{2} x - 5 \cos x + 2 = 0$
Решение
Пусть $\cos x = t ,$ тогда уравнение примет вид $3 t^{2} - 5 t + 2 = 0 ,$ отсюда $x_{1} = 1 , x_{2} = \frac{2}{3} .$ Вернемся к исходной переменной: $\cos x = 1$ или $\cos x = \frac{2}{3} .$ Решением первого уравнения является $x = 2 \pi k , k \in Z ,$второго — $x = \pm \arccos \frac{2}{3} + 2 \pi n , n \in Z .$
Ответ: $2 \pi k , k \in Z ;$ $\pm \arccos \frac{2}{3} + 2 \pi n , n \in Z .$
Пример 2
Решите уравнение $5 - 7 \sin x = 3 \cos^{2} x .$
Решение
По следствию из основного тригонометрического тождества $\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x ,$ тогда уравнение примет вид $5 - 7 \sin x = 3 - 3 \sin^{2} x .$ Сделаем замену $\sin x = t$и приведем подобные слагаемые: $3 t^{2} - 7 t + 2 = 0 , t_{1} = 2 , t_{2} = \frac{1}{3} .$ Имеем $\sin x = 2 ,$ которое не имеет решений, т. к. $\left|\sin x\right| \leq 1$, и $\sin x = \frac{1}{3} ,$ откуда $x = \left( - 1 \right)^{n} \arcsin \frac{1}{3} + \pi k , k \in Z .$
Ответ: $x = \left( - 1 \right)^{n} \arcsin \frac{1}{3} + \pi k , k \in Z .$
Пример 3
Решите уравнение $\operatorname{tg} x = 3 \operatorname{ctg} x$.
Решение
ОДЗ: $\begin{cases} \cos x \neq 0 , \\ \sin x \neq 0 , \end{cases} \\ \begin{cases} x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k , k \in Z , \\ x \neq \pi n , n \in Z , \end{cases} \\ x \neq \frac{\pi k}{2} , k \in Z . \\$
Так как $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x} ,$ то перепишем исходное уравнение в виде $\operatorname{tg} x - \frac{3}{\operatorname{tg} x} = 0 .$ Сделаем замену $\operatorname{tg} x = t , t \neq 0 ,$ тогда $t - \frac{3}{t} = 0 , \frac{t^{2} - 3}{t} = 0 ,$ откуда $t = \pm \sqrt{3} .$ Вернувшись к исходной переменной, имеем $\operatorname{tg} x = \sqrt{3} , x = \frac{\pi}{3} + \pi n , n \in Z$ и $\operatorname{tg} x = - \sqrt{3} , x = - \frac{\pi}{3} + \pi k , k \in Z .$
Ответ: $\frac{\pi}{3} + \pi n , n \in Z , - \frac{\pi}{3} + \pi k , k \in Z .$
Упражнение 1
Решите уравнение:
1) $4 \cos^{2} x + 4 \cos ( \frac{\pi}{2} + x ) - 1 = 0 ;$
2) $2 \cos^{2} 4 x + 2,5 \sin 2 x \cos 2 x + 1 = 0 ;$
3) $\operatorname{tg} x + 3 \operatorname{ctg} x = 4 .$
Контрольные вопросы
1. Опишите алгоритм решения тригонометрического уравнения, сводящегося к квадратному.
2. Равносильны ли уравнения $\operatorname{tg} x = 4 \operatorname{ctg} x$ и $\operatorname{tg} x - \frac{4}{\operatorname{tg} x} = 0$?
Упражнение 1
1. $\frac{\pi}{6} + 2 \pi n , n \in Z ; \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k , k \in Z .$
2. $- \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} , n \in Z ; - \frac{5 \pi}{24} + \frac{\pi k}{2} , k \in Z .$
3. $\frac{\pi}{4} + \pi n , n \in Z ; \operatorname{arctg} 3 + \pi k , k \in Z .$
