Конспект урока: Уравнение tg x = a

План урока

• Арктангенс числа.
• Формула решения простейшего тригонометрического уравнения $\operatorname{tg} x = a$.
• Арккотангенс числа.
• Формула решения простейшего тригонометрического уравнения $\operatorname{ctg} x = a$.
• Вычисление значений тригонометрических выражений.
• Решение уравнений.

Цели урока

• Знать определение арктангенса и арккотангенса числа.
• Знать формулы решения уравнений $\operatorname{tg} x = a$ и $\operatorname{ctg} x = a$.
• Уметь решать простейшие тригонометрические уравнения типа $\operatorname{tg} x = a$ и $\operatorname{ctg} x = a$.
• Уметь вычислять значения тригонометрических выражений.

Разминка

1. С помощью рис. 1 найти:

• все углы поворота точки А(1; 0) вокруг начала координат, чтобы получить точки В и С.
• все углы поворота точки А(1; 0) вокруг начала координат, чтобы получить точки D и E.

2. На рис. 2 изобразить

• точку С, соответствующую числу, синус которого равен $\sin \alpha$.
• точку D, соответствующую числу, косинус которого равен $\cos \alpha$.
• точку М, соответствующую числу, тангенс которого равен $\operatorname{tg} \alpha$.

Рис. 1. Поворот точки вокруг начала координат       Рис. 2. Точки единичной окружности

Решение простейшего тригонометрического уравнения $\mathbf{\mathit{t}} \mathbf{\mathit{g}} \mathbf{\mathit{x}} = \mathbf{\mathit{a}}$

Рассмотрим следующий вид простейших тригонометрических уравнений, а именно $\operatorname{tg} x = a$.

По определению, тангенс угла — это отношение синуса угла $\alpha$ к его косинусу. Отсюда следует, что $\operatorname{tg} x$ может принимать любое действительное значение, тогда уравнение $\operatorname{tg} x = a$ имеет корни при любом значении $a$.

Решить уравнение $\operatorname{tg} x = 1$

Решение

Рис. 3. Решение уравнения tg x = 1

Через точку А(1; 0) проведем прямую, перпендикулярную АО (Рис. 3) и отложим на ней отрезок AN=1. Через точки N и О проведем прямую, она пересекает единичную окружность в двух точках В₁ и В₂, диаметрально противоположных друг другу. Найдем тангенс угла $x_{1}$ в прямоугольном треугольнике ANO. По определению, тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему, тогда $\operatorname{tg} x_{1} = \frac{A N}{A D} = 1 ,$ откуда $x_{1} = \frac{\pi}{4} .$ Значит, в точку В₁ можно попасть при повороте точки А(1; 0) на угол $\frac{\pi}{4} ,$ а также на углы $x = \frac{\pi}{4} + 2 \pi k , k \in Z .$ Точка В₂ получается при         повороте       точки        А        на        угол

$x_{2} = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5 \pi}{4} ,$ а также на углы $x = \frac{5 \pi}{4} + 2 \pi k , k \in Z ,$ или, другими словами, $x = \frac{\pi}{4} + \pi ( 2 k + 1 ) , k \in Z .$ Получили, что корни уравнения  $\operatorname{tg} x = 1$ можно найти по формулам $x = \frac{\pi}{4} + 2 \pi k , k \in Z$ и $x = \frac{\pi}{4} + \pi ( 2 k + 1 ) , k \in Z ,$ а их, в свою очередь, можно объединить в одну $x = \frac{\pi}{4} + \pi k , k \in Z .$

 

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi k , k \in Z .$

Решить уравнение $\operatorname{tg} x = - 1$

Решение

Рис. 4. Решение уравнения tg x = -1

Пусть $A O \bot A M .$ Прямая, проходящая через точки О и М пересекает единичную окружность в диаметрально противоположных точках В₁ и В₂. В прямоугольном треугольнике АОМ $\angle A O M = \frac{\pi}{4} ,$ тогда $x_{1} = - \frac{\pi}{4} .$ Значит, в точку В₁ можно попасть при повороте точки А(1; 0) на угол $x_{1} = - \frac{\pi}{4} ,$ а также на углы $x = - \frac{\pi}{4} + 2 \pi k , k \in Z .$ Чтобы попасть в точку В₂, нужно повернуть точку А(1; 0) на угол $x_{2} = - \frac{\pi}{4} + \pi ,$ а также на углы $x = - \frac{\pi}{4} + \pi ( 2 k + 1 ) , k \in Z .$ Поэтому все корни уравнения $\operatorname{tg} x = - 1$  можно найти по формуле $x = - \frac{\pi}{4} + \pi k , k \in Z .$

 

Ответ: $- \frac{\pi}{4} + \pi k , k \in Z .$

Из решений примеров 1 и 2 видно, что уравнения  $\operatorname{tg} x = 1$ и $\operatorname{tg} x = - 1$ имеют бесконечное множество корней. Но, заметим, что на $( - \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} )$ у каждого уравнения только один корень. Для первого уравнения это $x = \frac{\pi}{4} ,$ число $\frac{\pi}{4}$ называют арктангенсом числа 1 (обозначают $\frac{\pi}{4} = \operatorname{arctg} 1$);  для второго — $x = - \frac{\pi}{4} ,$называют арктангенсом числа $( - 1 )$ (обозначают $- \frac{\pi}{4} = \operatorname{arctg} ( - 1 )$). Вообще говоря, уравнение $\operatorname{tg} x = a$, где $a \in R ,$ имеет единственный корень на промежутке $( - \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} )$, причем, если   $a \geq 0 ,$ то корень лежит на промежутке $[ 0 ; \frac{\pi}{2} )$,  если $a < 0$, то на промежутке $( - \frac{\pi}{2} ; 0 )$  и этот корень называется арктангенсом числа $a ( \operatorname{arctg} a ) .$

Вычислить:

а) $3 \operatorname{arctg} ( - \sqrt{3 )} + 7 \operatorname{arctg} 1 ;$

б) $4 \operatorname{ctg} ( \frac{\pi}{2} + \operatorname{arctg} 4 ) + 2 \operatorname{tg} ( \pi + \operatorname{arctg} \frac{5}{2} ) ;$

в) $\cos ( \operatorname{arctg} 0,5 ) .$

Решение

а) Так как $- \sqrt{3} < 0$, то $\operatorname{arctg} ( - \sqrt{3} )$ — число из промежутка $( - \frac{\pi}{2} ; 0 )$, тангенс которого равен $- \sqrt{3} .$ Значит, $\operatorname{arctg} ( - \sqrt{3 )} = - \frac{\pi}{3} ; \operatorname{arctg} 1 = \frac{\pi}{4} .$ Подставим найденные значения в исходное выражение: $3 \operatorname{arctg} ( - \sqrt{3} ) + 7 \operatorname{arctg} 1 = 3 \times ( - \frac{\pi}{3} ) + 7 \times \frac{\pi}{4} = - \pi + \frac{7 \pi}{4} = \frac{3 \pi}{4} .$

б) Воспользуемся формулами приведения для каждого из слагаемых и применим формулу (1):

$\operatorname{ctg} ( \frac{\pi}{2} + \operatorname{arctg} 4 ) = - \operatorname{tg} ( \operatorname{arctg} 4 ) = - 4 ;$

$\operatorname{tg} ( \pi + \operatorname{arctg} \frac{5}{2} ) = \operatorname{tg} ( \operatorname{arctg} \frac{5}{2} ) = \frac{5}{2} .$

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$4 \times ( - 4 ) + 2 \times \frac{5}{2} = - 11 .$

в) Пусть $\operatorname{arctg} 0,5 = x ,$ отсюда по определению арктангенса числа $\operatorname{tg} x = 0,5 , x \in ( - \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} ) .$ Тогда с новыми обозначениями нужно найти $\cos x$, где $x \in ( - \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} )$. C учетом того, что $x$ лежит в I или IV четверти, в которых косинус угла положительный, из формулы $1 + \operatorname{tg}^{2} x = \frac{1}{\cos^{2} x} : \cos x = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

Ответ: а) $\frac{3 \pi}{4} ;$

              б) $- 11$;

              в) $\frac{2}{\sqrt{5}}$

Вычислить:

1. $\frac{1}{3} \operatorname{arctg} 0 + 6 \operatorname{arctg} ( - \frac{\sqrt{3}}{3} ) ;$

2. $a r c \sin ( - \frac{\sqrt{2}}{2} ) + 4 \operatorname{arctg} 1 - \frac{1}{2} a r c \cos ( - 1 ) ;$

3. $\operatorname{tg} ( a r c \sin \frac{2}{5} ) .$

Уравнение $\mathbf{\mathit{c}} \mathbf{\mathit{t}} \mathbf{\mathit{g}} \mathbf{\mathit{x}} = \mathbf{\mathit{a}}$. Арккотангенс числа

Следующий, последний, вид простейших тригонометрических уравнений,  $\operatorname{ctg} x = a$.

По определению, котангенс угла — это отношение косинуса угла $\alpha$ к его синусу. Отсюда следует, что $\operatorname{ctg} x$ может принимать любое действительное значение, тогда уравнение $\operatorname{ctg} x = a$ имеет корни при любом значении $a$.

Вычислить:

а) $5 \operatorname{arcctg} ( - \frac{\sqrt{3}}{3} ) + 8 \operatorname{arcctg} 0 ;$

б) $4 \operatorname{arcctg} ( \operatorname{tg} \frac{3 \pi}{4} ) + \operatorname{arcctg} ( \operatorname{ctg} \frac{\pi}{7} ) .$

Решение

а) $5 \operatorname{arcctg} ( - \frac{\sqrt{3}}{3} ) + 8 \operatorname{arcctg} 0 = 5 \times ( \pi - \operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} ) + 8 \times \frac{\pi}{2} = 5 \times ( \pi - \frac{\pi}{3} ) +$

   $+ 4 \pi = \frac{22 \pi}{3} .$

б) $4 \operatorname{arcctg} ( \operatorname{tg} \frac{3 \pi}{4} ) + \operatorname{arcctg} ( \operatorname{ctg} \frac{\pi}{7} ) = 4 \operatorname{arcctg} ( - 1 ) + \frac{\pi}{7} = 4 \times ( \pi - \operatorname{arcctg} 1 ) + \frac{\pi}{7} =$

   $= 4 \times \frac{3 \pi}{4} + \frac{\pi}{7} = \frac{22 \pi}{7} .$

Ответ: а) $\frac{22 \pi}{3} ;$

              б) $\frac{22 \pi}{7} .$

Вычислить:

1. $\frac{1}{5} \operatorname{arcctg} ( - \sqrt{3} ) + 7 \operatorname{arcctg} ( - 1 ) ;$

2. $\operatorname{arcctg} ( \sin \frac{\pi}{2} ) + a r c \cos ( - 1 ) .$

Решить уравнение:

а) $\operatorname{tg} 3 x = - \frac{1}{\sqrt{3}} ;$

б) $9 - 25 \operatorname{tg}^{2} 2 x = 0 .$

Решение

а) По формуле (4) находим $3 x = \operatorname{arctg} ( - \frac{1}{\sqrt{3}} ) + \pi k , k \in Z ,$ откуда $3 x = - \frac{\pi}{6} + \pi k , k \in Z ,$ $x = - \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3} , k \in Z .$

б) Запишем исходное уравнение в виде $\operatorname{tg}^{2} 2 x = \frac{9}{25} ,$ тогда   $\operatorname{tg} 2 x = \frac{3}{5}$ или $\operatorname{tg} 2 x = - \frac{3}{5} .$По формуле (4) найдем корни этих уравнений. Для первого $2 x = \operatorname{arctg} \frac{3}{5} + \pi k , k \in Z ,$ $x = \frac{1}{2} \operatorname{arctg} \frac{3}{5} + \frac{\pi k}{2} , k \in Z .$ Для второго $2 x = - \operatorname{arctg} \frac{3}{5} + \pi n , n \in Z , x = - \frac{1}{2} \operatorname{arctg} \frac{3}{5} + \frac{\pi n}{2} , n \in Z .$

Ответ: а) $- \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3} , k \in Z ;$

              б) $\frac{1}{2} \operatorname{arctg} \frac{3}{5} + \frac{\pi k}{2} , k \in Z ;$ $- \frac{1}{2} \operatorname{arctg} \frac{3}{5} + \frac{\pi n}{2} , n \in Z .$

Решить уравнение:

1. $3 \operatorname{tg} ( x + \frac{2 \pi}{3} ) + \sqrt{3} = 0 ;$

2. $9 \operatorname{ctg}^{2} x - 3 = 0 .$