Конспект урока: Решение простейших тригонометрических неравенств. Уравнения, содержащие ограничения по ОДЗ

В предыдущих параграфах мы рассматривали различные типы тригонометрических уравнений. Все они, в конечном итоге, сводятся к решению простейших тригонометрических уравнений. Есть еще один тип тригонометрических уравнений, в которых есть ограничения по ОДЗ. Напомним, что областью допустимых значений выражения называются такие значения переменных, при которых выражение имеет смысл. 

Но для начала познакомимся с тригонометрическими неравнествами.

Простейшие тригонометрические неравенства

К простейшим тригонометрическим неравенствам относятся неравенства вида $\sin x < a , \cos x < a , \operatorname{tg} x < a , \operatorname{ctg} x < a$ (вместо знака $<$ может быть любой из $> , \geq , \leq$). Здесь $x$ является неизвестным, $a \in R .$

Решить неравенство $\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Рис. 1. Графическая интерпретация неравенства 1

Решение

 

Косинус угла  $\alpha$ — абсцисса точки единичной окружности, полученной при повороте точки (1; 0) на угол $\alpha$.  У двух точек В и С единичной окружности абсциссы равны $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (Рис. 1). Для того, чтобы получить точку В, нужно повернуть А(1; 0) на углы $\frac{\pi}{6} + 2 \pi n , n \in Z ,$ точку С — на углы $- \frac{\pi}{6} + 2 \pi n , n \in Z .$ У всех точек дуги единичной окружности, лежащей правее прямой ВС, абсциссы больше, чем $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда решением исходного неравенства является дуга СВ, значит, $- \frac{\pi}{6} + 2 \pi n < x < \frac{\pi}{6} + 2 \pi n , n \in Z .$

 

Ответ: $( - \frac{\pi}{6} + 2 \pi n ; \frac{\pi}{6} + 2 \pi n ) , n \in Z .$

Решить неравенство $\cos ( 2 x + \frac{\pi}{6} ) \leq - \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Рис. 2. Графическая интерпретация неравенства 2

Решение

 

Пусть $2 x + \frac{\pi}{6} = t .$ Решим неравенство $\cos t \leq - \frac{\sqrt{2}}{2} .$ Решением этого неравенства будут все точки дуги ВС (Рис. 2), т. е. $\frac{3 \pi}{4} + 2 \pi k \leq t \leq \frac{5 \pi}{4} + 2 \pi k , k \in Z .$ Вернемся к исходной переменной:

$\frac{3 \pi}{4} + 2 \pi k \leq 2 x + \frac{\pi}{6} \leq \frac{5 \pi}{4} + 2 \pi k , k \in Z .$

Отсюда $\frac{7 \pi}{12} + 2 \pi k \leq 2 x \leq \frac{13 \pi}{12} + 2 \pi k , k \in Z$ и $\frac{7 \pi}{24} + \pi k \leq x \leq \frac{13 \pi}{24} + \pi k , k \in Z .$

 

Ответ: $[ \frac{7 \pi}{24} + \pi k ; \frac{13 \pi}{24} + \pi k \left]\right. , k \in Z .$

Решить неравенство $\sin x \leq \frac{1}{2} .$

Рис. 3. Графическая интерпретация неравенства 3

Решение

 

По определению синус угла — это ордината точки, полученной при повороте точки А(1; 0) на этот угол. Две точки окружности В и С имеют ординаты, равные $\frac{1}{2}$ (Рис. 3). Точка В получена поворотом точки А на угол $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5 \pi}{6}$ или на углы $\frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k , k \in Z .$ Точка С — на углы $\frac{13 \pi}{6} + 2 \pi k , k \in Z .$Решением исходного неравенства являются все точки окружности, лежащие ниже прямой ВС, т. к. они все имеют ординаты, меньшие $\frac{1}{2}$. Тогда решение неравенства — интервалы $[ \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k ; \frac{13 \pi}{6} + 2 \pi k \left]\right. , k \in Z .$

 

Ответ: $[ \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k ; \frac{13 \pi}{6} + 2 \pi k \left]\right. , k \in Z .$

Решить неравенство $- 5 \sin x + \cos 2 x < 3 .$

Решение

К левой части неравенства применим формулы косинуса двойного угла и следствие из основного тригонометрического тождества, перенесем слагаемое из правой части неравенства в левую:

$- 5 \sin x + \cos^{2} x - \sin^{2} x - 3 < 0 ,$

$2 \sin^{2} x + 5 \sin x + 2 > 0 .$

Пусть $\sin x = t ,$тогда неравенство примет вид:

$2 t^{2} + 5 t + 2 > 0 ,$ откуда $t < - 2$ или $t > - \frac{1}{2} .$

Вернемся к исходной переменной:

$\sin x < - 2$ или $\sin x > - \frac{1}{2} .$ Первое неравенство решений не имеет, т. к. $| \sin x | \leq 1 ,$ решение второго — $( - \frac{\pi}{6} + 2 \pi n ; \frac{7 \pi}{6} + 2 \pi n ) , n \in Z .$

Ответ: $( - \frac{\pi}{6} + 2 \pi n ; \frac{7 \pi}{6} + 2 \pi n ) , n \in Z .$

Решить неравенство:

1. $2 \sin^{2} x + \cos x - 1 < 0 ;$

2. $\sqrt{2} \sin ( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} ) \geq 1 ;$

3. $0,5 \sin 4 x < - 0,2 .$

Решить уравнение  $\frac{2 \sin x + 1}{2 \cos x + \sqrt{3}} = 0 .$

Рис. 4. Область допустимых значений выражения из примера 5

Решение

 

Левая часть уравнения — дробное выражение, а дробь имеет смысл тогда, 
когда знаменатель отличен от нуля. Тогда ОДЗ: $2 \cos x + \sqrt{3} \neq 0$, $\cos x \neq - \frac{\sqrt{3}}{2}$, $x \neq \pm \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi n , n \in Z .$ 

«Выколем» эти точки на числовой окружности (Рис. 4).

Приравняем к нулю числитель левой части: $2 \sin x + 1 = 0$, $\sin x = - \frac{1}{2}$, откуда $x = - \frac{\pi}{6} + 2 \pi k , k \in Z$ или $x = - \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi m , m \in Z .$ Видим, что второе множество решений не удовлетворяет ОДЗ уравнения, тогда решением является $x = - \frac{\pi}{6} + 2 \pi k , k \in Z .$

 

Ответ: $- \frac{\pi}{6} + 2 \pi k , k \in Z .$

Решить уравнение  $\sin x ( 2 \sin x - 3 \operatorname{ctg} x ) = 3 .$

Решение

По определению котангенс угла — отношение косинуса угла к его синусу, тогда левая часть равенства имеет смысл в каждой точке окружности, кроме тех, в которых $\sin x = 0 ,$ т. е. ОДЗ: $x \neq \pi n , n \in Z .$

Раскроем скобки в левой части уравнения, применив определение котангенса, следствие из основного тригонометрического тождества, перенесем слагаемое из правой части в левую:

$2 - 2 \cos^{2} x - 3 \sin x \times \frac{\cos x}{\sin x} - 3 = 0 ,$

$2 \cos^{2} x + 3 \cos x + 1 = 0 .$

Пусть $\cos x = t ,$ тогда уравнение примет вид: $2 t^{2} + 3 t + 1 = 0 ,$ откуда $t_{1} = - \frac{1}{2} , t_{2} = - 1 .$ Вернемся к исходной переменной: $\cos x = - \frac{1}{2} , \cos x = - 1 .$ Решением первого уравнения является $x = \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi k , k \in Z ,$ второго — $x = \pi + 2 \pi m , m \in Z .$ С учетом ОДЗ уравнения решение — $x = \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi k , k \in Z .$

Ответ: $\pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi k , k \in Z .$

Решить уравнение:

1. $( 2 \cos x + 1 ) ( \sqrt{- \sin x} - 1 ) = 0 ;$

2. $( \sin 2 x - \sin x ) ( \sqrt{2} + \sqrt{- 2 \operatorname{ctg} x} ) = 0 .$