- Определение знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса по координатным четвертям единичной окружности.
- Решение заданий.
- Знать, какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в различных координатных четвертях.
- Уметь определять знак $\sin \alpha , \cos \alpha , \operatorname{tg} \alpha , \operatorname{ctg} \alpha$ при заданных значениях $\alpha$, сравнивать числа.
1. Вычислите:
1) $\sin \pi - \operatorname{tg} 2 \pi ;$ 2) $\cos \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{6} .$
2. В какой четверти находится точка, полученная путем поворота точки А(1; 0) на угол $\alpha$, если:
1) $\alpha = \frac{2 \pi}{7} ;$ 2) $\alpha = \frac{7 \pi}{4} ;$ 3) $\alpha = - 216^{0}$?
3. Какие знаки имеют абсцисса и ордината точки, полученной поворотом точки А(1; 0) на угол $\frac{8 \pi}{5} ?$
Рассмотрим движение точки А(1; 0) по единичной окружности против часовой стрелки.
I четверть: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2} .$ Ординаты и абсциссы точек положительны, значит, $\sin \alpha > 0 , \cos \alpha > 0 , \operatorname{tg} \alpha > 0$ (т. к. тангенс угла есть отношение синуса угла к его косинусу, а частное двух положительных величин есть величина положительная), $\operatorname{ctg} \alpha > 0$ (частное положительного косинуса угла к положительному синусу угла будет положительным).
II четверть: $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi .$ Ординаты точек положительны, абсциссы отрицательны. Тогда $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha < 0$, $\operatorname{tg} \alpha < 0$, $\operatorname{ctg} \alpha < 0$.
III четверть: $\pi < \alpha < \frac{3 \pi}{2} .$ Ординаты и абсциссы точек отрицательны. Значит, $\sin \alpha < 0 , \cos \alpha < 0 , \operatorname{tg} \alpha > 0 , \operatorname{ctg} \alpha > 0 .$
IV четверть: $\frac{3 \pi}{2} < \alpha < 2 \pi .$ Ординаты точек отрицательны, абсциссы положительны. Тогда $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha > 0$, $\operatorname{tg} \alpha < 0$, $\operatorname{ctg} \alpha < 0$.
Приведем графическую иллюстрацию для лучшего запоминания (рис. 1).
Рис.1
Если же точка А(1; 0) осуществляет поворот на угол, больший $2 \pi$, или движется по часовой стрелке, знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса определяются тем, в какой четверти окажется точка в соответствии с рисунком 1.
Пример 1
Определите знаки $\sin \alpha , \cos \alpha , \operatorname{tg} \alpha , \operatorname{ctg} \alpha$ если:
1) $\alpha = \frac{14 \pi}{3} ;$ 2) $\alpha = - 328^{0} .$
Решение
1) $\alpha = \frac{14 \pi}{3} = 4 \pi + \frac{2 \pi}{3} .$ Значит, угол $\alpha$ лежит во II четверти, тогда $\sin \alpha > 0 , \cos \alpha < 0 , \operatorname{tg} \alpha < 0 , \operatorname{ctg} \alpha < 0 .$
2) $\alpha = - 328^{0} = - 360^{0} + 32^{0} ,$ следовательно угол $\alpha$ лежит в IV четверти, тогда $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha > 0$, $\operatorname{tg} \alpha < 0$, $\operatorname{ctg} \alpha < 0$.
Ответ:
1) $\sin \alpha > 0 , \cos \alpha < 0 , \operatorname{tg} \alpha < 0 , \operatorname{ctg} \alpha < 0 .$
2) $\sin \alpha < 0 , \cos \alpha > 0 , \operatorname{tg} \alpha < 0 , \operatorname{ctg} \alpha < 0 .$
Пример 2
Сравните числа:
1) $\sin 3$ и $\sin 4$; 2) $\cos 4$ и $\cos 5$; 3) $\sin 2$ и $\cos 2$.
Решение
1) $3 \in [ \frac{\pi}{2} ; \pi \left]\right. ,$значит, $\sin 3 > 0 ; 4 \in [ \pi ; \frac{3 \pi}{2} \left]\right. ,$ тогда $\sin 4 < 0 .$
Следовательно, $\sin 3 > \sin 4 .$
2) $\cos 4 < 0 ,$ т. к. 4 лежит в III четверти. $5 \in [ \frac{3 \pi}{2} ; 2 \pi \left]\right. ,$ тогда $\cos 5 > 0 .$ Значит, $\cos 4 < \cos 5 .$
3) $2 \in [ \frac{\pi}{2} ; \pi \left]\right. ,$ тогда $\sin 2 > 0$ и $\cos 2 < 0$. Значит, $\sin 2 > \cos 2 .$
Ответ: 1) $\sin 3 > \sin 4 ;$
2) $\cos 4 < \cos 5 ;$
3) $\sin 2 > \cos 2 .$
Упражнение 1
Определите знаки $\sin \alpha , \cos \alpha , \operatorname{tg} \alpha , \operatorname{ctg} \alpha$ если:
1) $\alpha = - \frac{6 \pi}{7} ;$ 2) $\alpha = - 405^{0} .$
Упражнение 2
Сравните числа:
1) $\sin 0,4$ и $\sin 6,03$;
2) $\cos ( - 3 )$ и $\cos ( - 5 )$;
3) $\sin 4,4$ и $\cos 4,4$.
Контрольные вопросы
1. Почему в третьей координатной четверти и синус, и косинус угла принимают отрицательные значения?
2. Почему в четвертой координатной четверти и тангенс, и котангенс угла принимают отрицательные значения?
3. В какой четверти находится точка М, если обе ее координаты отрицательны? Абсцисса точки М отрицательна, а ордината положительна?
Упражнение 1
1) $\sin \alpha < 0 , \cos \alpha < 0 , \operatorname{tg} \alpha > 0 , \operatorname{ctg} \alpha > 0 .$
2) $\sin \alpha < 0 , \cos \alpha > 0 , \operatorname{tg} \alpha < 0 , \operatorname{ctg} \alpha < 0 .$
Упражнение 2
1) $\sin 0,4 > \sin 6,03 ;$
2) $\cos ( - 3 ) < \cos ( - 5 ) ;$
3) $\sin 4,4 < \cos 4,4 .$
