Конспект урока: Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов

При решении уравнений часто используют метод разложения на множители. Рассмотрим формулы, позволяющие это сделать с суммой или разностью синусов или косинусов.

Пусть дано выражение $\sin ( x + y ) + \sin ( x - y ) .$ Применим к нему формулы синуса суммы и разности аргументов, получим:

$\sin x \cos y + \cos x \sin y + \sin x \cos y - \cos x \sin y = 2 \sin x \cos y ,$ т. е.

$\sin ( x + y ) + \sin ( x - y ) = 2 \sin x \cos y .$         (1)

Пусть $x + y = \alpha , x - y = \beta .$ Найдем сумму и разность  $\alph\text{аи} \beta .$

$\alpha + \beta = x + y + x - y = 2 x , \text{т} \text{огд} a x = \frac{\alpha + \beta}{2} ;$

$\alpha - \beta = x + y - x + y = 2 y , \text{от} \text{сюд} a y = \frac{\alpha - \beta}{2} .$

В силу полученных обозначений, формула (1) примет вид:

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} .$         (2)

Заменим в (2) $\beta$ на $- \beta$  Тогда $\sin \alpha + \sin ( - \beta ) = 2 \sin \frac{\alpha + ( - \beta )}{2} \cos \frac{\alpha - ( - \beta )}{2} ,$ отсюда

$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} .$         (3)

Формулы суммы и разности косинусов приведем без доказательства. Они доказываются таким же способом.

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} ,$         (4)

$\cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} .$         (5)

Представьте сумму в виде произведения

1) $\cos 20^{\circ} + \cos 40^{\circ} ;$

2) $\sin \frac{\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{11} ;$

3) $\cos 2 x - \cos 4 x - \cos 6 x + \cos 8 x .$

Решение

1) Воспользуемся формулой (4).

$\cos 20^{\circ} + \cos 40^{\circ} = 2 \cos \frac{20^{\circ} + 40^{\circ}}{2} \cos \frac{40^{\circ} - 20^{\circ}}{2} = 2 \cos 30^{\circ} \cos 10^{\circ} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 10^{\circ} = \sqrt{3} \cos 10^{\circ} ;$

2)  По формуле (3) имеем $\sin \frac{\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{11} = 2 \sin \frac{\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{11}}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{11}}{2} = 2 \sin \frac{4 \pi}{33} \cos \frac{7 \pi}{33} ;$

3) $\cos 2 x - \cos 4 x - \cos 6 x + \cos 8 x = - ( \cos 4 x - \cos 2 x ) + ( \cos 8 x - \cos 6 x ) .$ Для каждого выражения в скобках применим формулу (5). Тогда выражение примет вид $2 \sin 3 x \sin x - 2 \sin x \sin 7 x .$  Разложим на множители, для этого вынесем за скобки $2 \sin x$ и применим формулу (3): $2 \sin x ( \sin 3 x - \sin 7 x ) =$ $= - 2 \sin x ( \sin 7 x - \sin 3 x ) = - 2 \sin x \cdot 2 \sin 2 x \cos 5 x = - 4 \sin x \sin 2 x \cos 5 x .$

Ответ: 1)  $\sqrt{3} \cos 10^{\circ} ;$

              2)  $2 \sin \frac{4 \pi}{33} \cos \frac{7 \pi}{33} ;$

              3) $- 4 \sin x \sin 2 x \cos 5 x .$

При решении задач мы часто видим, что любые формулы применяются как слева направо, так и в обратную сторону. Формулы суммы и разности синусов и косинусов это тоже не обошло стороной. Поэтому, рассмотрим, как можно преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму или разность.

Пусть дано выражение $\sin ( \alpha + \beta ) + \sin ( \alpha - \beta ) ,$применим к нему формулы синуса суммы и синуса разности аргументов, получим $\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta +$ $+ \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = 2 \sin \alpha \cos \beta ,$ отсюда

$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} ( \sin ( \alpha + \beta ) + \sin ( \alpha - \beta ) ) .$         (6)

Аналогично, применив к выражениям $\cos ( \alpha + \beta ) + \cos ( \alpha - \beta ) ,$ $\cos ( \alpha - \beta ) - \cos ( \alpha + \beta ) ,$формулы косинуса суммы и разности аргументов, можно доказать следующие формулы:

$\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} ( \cos ( \alpha - \beta ) - \cos ( \alpha + \beta ) )$         (7)

   $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} ( \cos ( \alpha + \beta ) + \cos ( \alpha - \beta ) )$        (8)

Докажите тождество $4 \sin x \sin ( \frac{\pi}{3} + x ) \sin ( \frac{\pi}{3} - x ) = \sin 3 x .$

Доказательство

Применим к левой части тождества формулу (7):

$4 \sin x \cdot \frac{1}{2} ( \cos ( \frac{\pi}{3} + x - \frac{\pi}{3} + x ) - \cos ( \frac{\pi}{3} + x + \frac{\pi}{3} - x ) ) =$

$= 2 \sin x ( \cos 2 x - \cos \frac{2 \pi}{3} ) = 2 \sin x ( \cos 2 x + \frac{1}{2} ) = 2 \sin x \cos 2 x + \sin x$.

По формуле (6) имеем: 

$2 \cdot \frac{1}{2} ( \sin 3 x + \sin ( - x ) ) + \sin x = \sin 3 x - \sin x + \sin x = \sin 3 x ,$        что      равно

правой части тождества.

Вычислите:

1) $\frac{\cos 29^{\circ} - \cos 91^{\circ}}{\sin 31^{\circ}} ;$                             2) $\sin \frac{7 \pi}{12} \sin \frac{\pi}{12} .$

Упростите выражение $- \frac{\cos \alpha - \cos 3 \alpha}{\sin 3 \alpha + \sin \alpha} .$

Докажите тождество  $\frac{2 \sin 3 \alpha \cos \alpha - \sin 2 \alpha}{\cos 2 \alpha - \cos 6 \alpha} = \frac{1}{4 \sin \alpha \cos \alpha .}$