Конспект урока: Уравнение sin x = a

План урока

• Арксинус числа.
• Формула решения простейшего тригонометрического уравнения $\sin x = a .$
• Вычисление значений тригонометрических выражений.
• Частные случаи решения уравнения $\sin x = a$.
• Решение уравнений.

Цели урока

• Знать определение арксинуса числа.
• Знать формулу решения уравнения $\sin x = a$.
• Знать частные случаи решения уравнения $\sin x = a$.
• Уметь решать простейшие тригонометрические уравнения типа $\sin x = a$.
• Уметь вычислять значения тригонометрических выражений.

Разминка

Рис. 1 Поворот точки А(1; 0) на некоторый угол

На единичной окружности отмечена точка В, ордината которой равна $- \frac{1}{2}$(Рис. 1). 

 

Найти:

• Абсциссу точки В.
• Меру угла АОВ в радианах.
• Координаты точки С.
• Меры любых трех углов, на которые повернули точку А(1; 0), чтобы получить точки В и С (в радианах).
• Все углы, на которые нужно повернуть точку А, чтобы получить точки В и С.

Решение простейшего тригонометрического уравнения $\mathbf{\mathit{s}} \mathbf{\mathit{i}} \mathbf{\mathit{n}} \mathbf{\mathit{x}} = \mathbf{\mathit{a}}$

Рассмотрим следующий вид простейших тригонометрических уравнений, а именно $\sin x = a$.

По определению, синус угла — это ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на некоторый угол $\alpha$. Из определения следует, что $\left|\sin \alpha\right| \leq 1 .$ Если $\left|a\right| > 1 ,$ т. е. когда мы выйдем за пределы единичной окружности, то уравнение $\sin x = a$ корней иметь не будет. Например, уравнение $\sin x = - 1,5$.

Решить уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решение

Рис. 2. Решение уравнения 1

У точек $B_{1}$ и $B_{2}$ ординаты равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (Рис. 2). Помним, что $\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin \frac{\pi}{4} .$ Тогда, для того, чтобы получить точку $B_{1}$ нужно повернуть точку А(1; 0) на угол $x_{1} = \frac{\pi}{4} .$ Но в нее же можно попасть и при повороте на угол $x = \frac{\pi}{4} + 2 \pi k , k \in Z .$ Точка $B_{2}$ получается из А(1; 0) поворотом на $x_{2} = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3 \pi}{4}$, и на углы $x = \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi k , k \in Z .$ То есть корни уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ можно найти по формулам $x = \frac{\pi}{4} + 2 \pi k$,  $x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2 \pi k , k \in Z$. А их, в свою очередь, можно объединить в одну: $x = \left( - 1 \right)^{n} \frac{\pi}{4} + \pi n , n \in Z .$ Видим, что если в этой формуле n — четное число $( n = 2 k )$, то получим $x = \frac{\pi}{4} + 2 \pi k , k \in Z ,$ а если n — нечетное число $( n = 2 k + 1 )$, получим $x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2 \pi k , k \in Z .$

 

Ответ: $\left( - 1 \right)^{n} \frac{\pi}{4} + \pi n , n \in Z .$

Решить уравнение $\sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Решение

Рис. 3. Решение уравнения 2

У точек $B_{1}$ и $B_{2}$ ординаты равны $- \frac{\sqrt{2}}{2}$(Рис. 3). Значит, 

$x_{1} = - \frac{\pi}{4} + 2 \pi k , k \in Z ,$ а 

$x_{2} = - \pi + \frac{\pi}{4} + 2 \pi k , k \in Z ,$ т. е.

$x_{2} = - \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi k , k \in Z .$ Тогда все решения уравнения $\sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ можно задать одной формулой $x = \left( - 1 \right)^{n} ( - \frac{\pi}{4} ) + \pi k , k \in Z .$ В этой формуле если n — четное число ($n = 2 k$), то получим $x = - \frac{\pi}{4} + 2 \pi k , k \in Z ,$ а если n — нечетное число ($n = 2 k - 1$),  получим $x = - \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi k , k \in Z .$

 

Ответ: $\left( - 1 \right)^{n} ( - \frac{\pi}{4} ) + \pi k , k \in Z .$

Из решений примеров 1 и 2 видно, что уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$имеют бесконечное множество корней. Но, заметим, что на $[ - \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \left]\right.$ у каждого уравнения только один корень. Для первого уравнения это $x = \frac{\pi}{4} ,$ число $\frac{\pi}{4}$ называют арксинусом числа $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (обозначают $\frac{\pi}{4} = \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}$); для второго — $x = - \frac{\pi}{4}$, называют арксинусом числа ($- \frac{\sqrt{2}}{2}$) (обозначают $- \frac{\pi}{4} = \arcsin ( - \frac{\sqrt{2}}{2} ) ) .$

Вообще говоря, уравнение $\sin x = a$ при $\left|a\right| \leq 1$(или, другими словами, при $- 1 \leq a \leq 1$) имеет единственный корень на отрезке $[ - \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \left]\right.$, причем, если $a \geq 0 ,$ то корень лежит на отрезке $[ 0 ; \frac{\pi}{2} \left]\right.$, если $a < 0$, то на промежутке $[ - \frac{\pi}{2} ; 0 )$ и этот корень называется арксинусом числа $a ( \arcsin a ) .$

Вычислить:

а) $\frac{1}{2} \arcsin ( - \frac{\sqrt{3}}{2} ) + 0,6 \arcsin 0 ;$

б) $\arcsin ( \sin \frac{22 \pi}{7} ) ;$

в) $\cos ( \arcsin \frac{12}{13} ) .$

Решение

а) Так как $- \frac{\sqrt{3}}{2} < 0$, то $\arcsin ( - \frac{\sqrt{3}}{2} )$ — число из промежутка $[ - \frac{\pi}{2} ; 0 )$, синус которого равен $- \frac{\sqrt{3}}{2} .$ Значит, $\arcsin ( - \frac{\sqrt{3}}{2} ) = - \frac{\pi}{3} ; \arcsin 0 = 0 .$ Подставим найденные значения в исходное выражение: $\frac{1}{2} \arcsin ( - \frac{\sqrt{3}}{2} ) + 0,6 \arcsin 0 = \frac{1}{2} \times ( - \frac{\pi}{3} ) + 0,6 \times 0 = - \frac{\pi}{6} .$

б) Воспользоваться формулой (2) мы здесь не можем, т. к. $\frac{22 \pi}{7} \notin [ - \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \left]\right.$. Поэтому нужно найти число из $[ - \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \left]\right. ,$ синус которого будет равен $\sin \frac{22 \pi}{7} .$ Так как $\sin \frac{22 \pi}{7} = \sin ( 3 \pi + \frac{\pi}{7} ) = \sin ( 2 \pi + \pi + \frac{\pi}{7} ) = \sin ( \pi + \frac{\pi}{7} ) = - \sin \frac{\pi}{7} = \sin ( - \frac{\pi}{7} ) ,$где $- \frac{\pi}{7} \in \left[- \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right] ,$ то $\arcsin ( \sin \frac{22 \pi}{7} ) = - \frac{\pi}{7} .$

в) Пусть $\arcsin \frac{12}{13} = x ,$ отсюда по определению арксинуса числа $\sin x = \frac{12}{13} , x \in \left[- \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right] .$ Тогда с новыми обозначениями нужно найти $\cos x$, где $x \in \left[- \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right] .$ По следствию из основного тригонометрического тождества, с учетом того, что $x$ лежит в I или IV четверти, в которых косинус угла положительный $\cos x = \sqrt{1 - \sin^{2} x} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \frac{5}{13} .$

Ответ: а) $- \frac{\pi}{6} ;$

              б)$- \frac{\pi}{7} ;$

              в)$\frac{5}{13} .$

Вычислить:

1. $5 \arcsin ( - \frac{1}{\sqrt{2}} ) + 3 \arccos ( - \frac{1}{2} ) ;$

2. $\frac{1}{3} \arcsin ( - 1 ) + \frac{1}{10} \arccos 1 ;$

3. $\sin ( \pi - \arcsin \frac{2}{3} ) .$

Частные случаи решения уравнения $\mathbf{\mathit{s}} \mathbf{\mathit{i}} \mathbf{\mathit{n}} \mathbf{\mathit{x}} = \mathbf{\mathit{a}}$

Применим формулу (4) к простейшему тригонометрическому уравнению $\sin x = a$,  когда $a = 0 , a = 1 , a = - 1$.

$\sin x = 0 ,$            $x = \pi k , k \in Z ,$                       (5)

$\sin x = 1 ,$           $x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k , k \in Z ,$             (6)

$\sin x = - 1 ,$       $x = - \frac{\pi}{2} + 2 \pi k , k \in Z .$         (7)

Формулы (5)–(7) называют частными случаями решения уравнения $\sin x = a$.

Решить уравнение:

а) $5 \sin x = 2 ;$

б) $\sin ( 3 x + \frac{5 \pi}{6} ) = 0 ;$

в) $\sin 7 x \cos 3 x - \cos 7 x \sin 3 x = 1 .$

Решение

а) Разделим обе части уравнения на 5: $\sin x = \frac{2}{5} ,$откуда по формуле (4) найдем корни $x = \left( - 1 \right)^{n} \arcsin \frac{2}{5} + \pi n , n \in Z .$

б) По формуле (5) имеем $3 x + \frac{5 \pi}{6} = \pi k , k \in Z ,$откуда $3 x = - \frac{5 \pi}{6} + \pi k , k \in Z .$ Выразим $x : x = - \frac{5 \pi}{18} + \frac{\pi k}{3} , k \in Z .$

в) Применив формулу синуса разности, получим: $\sin 4 x = 1 ,$откуда по (6) $4 x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k , k \in Z$, $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} , k \in Z .$

Ответ: а)$\left( - 1 \right)^{n} \arcsin \frac{2}{5} + \pi n , n \in Z .$

              б)$- \frac{5 \pi}{18} + \frac{\pi k}{3} , k \in Z .$

              в)$\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} , k \in Z .$

Решить уравнение:

1. $\frac{1}{2} \sin \frac{x}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} ;$

2. $2 \sin ( 2 x + \frac{\pi}{3} ) + \sqrt{3} = 0 ;$

3. $( 2 \sin x + 1 ) ( 4 + \sin x ) = 0$.