Конспект урока: Радианная мера угла. Поворот точки вокруг начала координат

Рис. 1

Пусть на координатной плоскости дана окружность с центром в начале координат и радиусом 1. Такая окружность называется единичной. Пусть точка 
А (1;0) – начальная точка движения (см. Рис. 1). Введем понятие поворота точки единичной окружности вокруг начала координат на угол $\alpha$ радиан $( \alpha \in R ) .$

1 случай. $\alpha > 0 .$ Точка А прошла против часовой стрелки по окружности путь длиной $\alpha$ и попала в точку М₁ (рис. 1). Будем говорить, что точка М₁ получена из точки А путем поворота вокруг начала координат на угол $\alpha$ радиан.

2 случай.  $\alpha < 0 .$ Точка А движется по часовой стрелке, попадает в точку М₂ (рис. 1) и проходит путь длиной $| \alpha |$.

3 случай. $\alpha = 0 .$ Точка А остается на месте.

Рис. 2                                            Рис. 3

Например, если повернуть точку А (1;0) на угол $\frac{3 \pi}{2}$, получим точку $M_{1} ( 0 ; - 1 ) .$ При повороте на угол $- \frac{3 \pi}{2} ,$ получим точку $M_{2} ( 0 ; 1 )$ (рис. 2). Поворот точки А (1; 0) на угол $\pi$ дает точку К(-1;0), эту же точку дает и поворот на угол $- \pi$ (рис.3).

Так как у одного и того же угла его мера может быть записана как в радианной мере, так и в градусной, то поворот точки вокруг начала координат можно задавать тоже в двух мерах, т. е. поворот точки А (1;0) на угол $\frac{\pi}{2}$ означает то же самое, что и поворот на $90^{0}$, поворот на $- \frac{\pi}{4}$- поворот на $- 45^{0}$. Заметим, что поворот на $2 \pi ,$ на $- 2 \pi$ возвращает точку в начальное положение. 

Таблица поворотов точки на некоторые углы

Рис. 4

Рис. 5

Все рассмотренные случаи лежат в пределах одной окружности. А что делать, если нужно совершить поворот на угол, больший $2 \pi ,$ или меньший $- 2 \pi$? Например, на $\frac{37 \pi}{15} ?$ В этом случае выделяют полные обороты окружности: $\frac{37 \pi}{15} = 2 \pi + \frac{7 \pi}{15} ,$ т. е. точка А (1;0) совершает один полный оборот и еще проходит путь $\frac{7 \pi}{15}$(рис. 5). 

Заметим, что при повороте на $\frac{37 \pi}{15}$ и на $\frac{7 \pi}{15}$ получается одна и та же точка. 

Иными словами, если     

$\alpha = \alpha_{0} + 2 \pi \kappa , \kappa \in Z ,$ то при повороте на угол $\alpha$ получается та же точка, что и при повороте на угол $\alpha_{0} .$

Найдите координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1;0) на угол:

1)$3 \pi ;$  2)$- \frac{5 \pi}{2} ;$   3)$- 4,5 \pi .$

Решение

1) $3 \pi = 2 \pi + \pi ,$ значит при повороте на $3 \pi$ получается та же точка, что и при повороте на $\pi$, т. е. точка с координатами (-1;0).

2) $- \frac{5 \pi}{2} = - 2 \pi - \frac{\pi}{2} .$ При повороте на $- \frac{5 \pi}{2}$получается та же точка, что и при повороте на $- \frac{\pi}{2}$, т. е. точка с координатами (0;-1).

3) $- 4,5 \pi = - 4 \pi - 0,5 \pi .$ Полученная точка совпадет с точкой, полученной при повороте на угол $- 0,5 \pi ,$ т. е. будет иметь координаты (0;-1).

Ответ: 1) (-1;0); 2) (0;-1); 3) (0;-1).

Укажите четверть, в которой расположена точка $A_{\alpha}$, полученная путем поворота точки А(1;0) на угол $\alpha$ радиан, если:

1) $\alpha = \frac{5 \pi}{4} ;$  2)$\alpha = \frac{2 \pi}{3} ;$  3)$\alpha = - \frac{\pi}{8} ;$  4)$\alpha = 2,5 .$

Решение

1) $\pi < \frac{5 \pi}{4} < \frac{3 \pi}{2} ,$ значит, $A_{a}$ расположена в III четверти.

2) $\frac{\pi}{2} < \frac{2 \pi}{3} < \pi ,$ II четверть.

3) $0 < | - \frac{\pi}{8} | < | - \frac{\pi}{2} | ,$ IV четверть.

4) $\frac{\pi}{2} < 2,5 < \pi ,$ II четверть.

Ответ: 1) III;           2) II;           3) IV;              4) II.

На единичной окружности постройте точку, полученную при повороте точки A(1;0) на угол $\alpha$ радиан, если:

1) $\alpha = - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} ;$  2)$\alpha = \frac{\pi}{2} + 2 \pi \kappa , \kappa \in Z .$

Решение

Рис. 6

1) Повернем точку А(1;0) по часовой стрелке на угол $| - \frac{\pi}{3} |$, попадем в точку В; затем полученную точку повернем на угол$\frac{\pi}{2}$ против часовой стрелки, попадем в точку С. Она и будет искомой (рис. 6).

Рис. 7

2) Повернем точку А(1;0) против часовой стрелки на угол $\frac{\pi}{2}$ попадем в точку В(0;1). При каждом следующем повороте на угол $2 \pi$ независимо от направления, будем попадать в точку В. Точка В – искомая 
(см. Рис. 7).

Установите в какой четверти расположена точка $A_{\alpha}$, полученная путем поворота точки A(1;0) на угол $\alpha$, если:

1) $9 \pi < \alpha < \frac{19 \pi}{2} ;$  2) $1650^{0} < \alpha < 1700^{0} .$

Решение

1) Представим границы интервалов в виде $2 \pi \kappa + \beta , \kappa \in Z : 9 \pi = 8 \pi + \pi ; \frac{19 \pi}{2} = 8 \pi + \frac{3 \pi}{2} .$ Значит, точка $A_{\alpha}$ лежит между $\pi$ и $\frac{3 \pi}{2}$, т. е. расположена в III четверти.

2) $1650^{0} = 4 \cdot 360^{0} + 210^{0} ; 1700^{0} = 4 \cdot 360^{0} + 260^{0} .$ Значит, точка $A_{\alpha}$ лежит между $180^{0} \text{и} 270^{0} ,$ т. е. расположена в III четверти.

Ответ: III; III.

Найдите координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1;0) на угол:

1) $5 \pi ;$   2) $\frac{9 \pi}{2} .$

Укажите четверть, в которой расположена точка $A_{\alpha}$, полученная путем поворота точки А(1;0) на угол $\alpha$ радиан, если:

1) $\alpha = \frac{3 \pi}{8} ;$   2)$\alpha = \frac{4 \pi}{3}$;  3) $\alpha = 3,8 .$

На единичной окружности постройте точку, полученную при повороте точки А(1;0) на угол $\alpha$ радиан, если:

1) $\alpha = \frac{2 \pi}{3} + \frac{3 \pi}{2} ;$  2) $\alpha = 2 \pi \kappa , \kappa \in Z .$

1.Чему равна длина единичной окружности? Полуокружности?

2.При каком по счету обходе единичной окружности мы попадем в точку 7?

3.Почему числам $5 - 2 \p\text{iи} 5 + 8 \pi$ соответствует одна и та же точка числовой окружности?

Ответы

Упражнение 1

1)(-1;0);       2)(0;1).

 

Упражнение 2

1) I;       2) III;        3) III.

 

Упражнение 3

1)

 

2)